Otras carreras Integral de Feynman y teoría de la medida

[alexpglez]

Buenas tardes.

Hace tiempo que me vengo preguntando si la integral de Feynman está bien definida dentro del contexto de la teoría de la medida: si existe la medida en el espacio de funciones, tal que la integral de Feynman es realmente la integral del funcional $e^{iS[x(t)]}$ respecto de esa medida. Me parece muy natural físicamente la pregunta, ya que las reglas para construirla es sumar esa cantidad por cada trayectoria posible de la partícula: "una suma de historias" (por cada historia posible que una partícula o un campo pueda contar de si misma...).

Le pregunté esto mismo a mi profesor de análisis, (y después de contarme alguna historia de "desamor" entre la física y los físicos y las matemáticas y los matemáticos), me dijo que cree que hay un concepto de integración de procesos aleatorios que podría estar relacionado: la integral de Itô. Pero debido a mi nulo nivel de estadística combinado con mi mediocre inglés no consigo entender nada de la entrada de wikipedia.

Lo curioso es que navegando por internet, encontré dos papers de Itô que trata justamente la integral de Feynman y si se puede formular en el contexto de la teoría de la medida: Weiner Integral and Feynman Integral, Generalized uniform complex Measures in the Hilbertian metric space with their application to the Feynman integral. Pero al ser tan técnico tampoco consigo entender gran cosa.

Me preguntaba si alguien que supiese de teoría de la medida o la integral de Feynman, me podría responder a mi duda inicial y traducir divulgativamente lo que tratan los papers (más o menos entiendo la idea, pero no la conclusión ni los pasos intermedios...) y si tiene que ver la integral de Itô con la de Feynman.

Gracias, saludos

[Weip]

Re: Integral de Feynman y teoría de la medida

Hola. La verdad es que este tema no lo domino así que puedes tomarte este mensaje como un aperitivo mientras llega alguien que sepa más.

Lo primero que debo decir acerca de la formalización de la integral de caminos es que hasta ahora es algo que no se ha conseguido. Aún así existen varias propuestas que permiten tratar más o menos la integral de caminos en el contexto de las medidas y una de ellas es la que pasa por los procesos estocásticos que has encontrado en los artículos de Itô. La página de la wikipedia que enlazas lo que te explica es la teoría referente a adaptar el cálculo diferencial e integral de toda la vida a los procesos estocásticos. Estos procesos son, fundamentalmente, sistemas aleatorios que evolucionan con el tiempo (comportamiento de un gas, movimiento de dinero en la compra y venta de acciones, etc).

En el artículo “Wiener integral and Feynman integral” Itô formaliza la medida $\prod_{r}dx_{r}/N$ como el límite de una sucesión de medidas de probabilidad para encontrar la solución de la ecuación de Schrödinger con dos potenciales concretos y la ecuación del calor en forma de integral de camino comparándola con la integral de Wiener, es decir, la integral respecto a la medida de Wiener. Esta es la medida de probabilidad inducida por el proceso estocástico de movimiento Browniano y se relaciona con la integral de caminos de la siguiente manera:

$\dst\int f(x)d \mu_{W}=\dst\int f(x) e^{-S_c}Dx$

$d \mu_{W}$ es la medida de Wiener, $S_c$ es la parte cinética de la acción y $Dx=\prod_{r}dx_{r}/N$. Con esto contesto la pregunta que has hecho al principio: realmente el término exponencial que se suele encontrar en la integral de caminos es notación y en casi todas las formalizaciones es un término que se lo “come” la medida. Fíjate que aquí la integral de caminos está formulada de manera que el tiempo es imaginario (rotación de Wick, no sé si te suena), y en general no es posible exportar todo este proceso a la integral de caminos con tiempo real.

El otro enlace no me lo he leído (muy largo xD). Espero que al menos este mensaje te haya servido como idea general.

[alexpglez]

Re: Integral de Feynman y teoría de la medida

¿Qué es la medida de Weiner? Según lo que leo en wikipedia es el análogo a las integrales de camino para movimientos brownianos. ¿Esto si está formalizado?
Sé que $\int e^{iS[x]} Dx$ es pura notación, pero la interpretación física de lo que es, como "sumar" $e^{iS[x]}$ por cada camino posible inclusive la matemática tras su cálculo (que recuerda al cálculo de la integral de Riemman expuesto en todo libro de matemáticas para ingeniería), recuerdan a la integral de ese funcional respecto de alguna medida $Dx$ que "trata a todas las funciones por igual", que no da preferencia a ningún conjunto específico de funciones.

Si la medida de Weiner, o su construcción siguen reglas parecidas como una "integral" respecto de "todos los caminos posibles" de una cierta cantidad con forma gaussiana, no entiendo que por qué esta medida $d\mu_W$ si está bien definida pero no $Dx$.

[Weip]

Re: Integral de Feynman y teoría de la medida

Hola de nuevo.

¿Qué es la medida de Weiner? Según lo que leo en wikipedia es el análogo a las integrales de camino para movimientos brownianos.

Es una medida de probabilidad en $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}^n)$ y está asociada al movimiento Browniano (proceso de Wiener). En verdad no deja de ser una probabilidad así que las propiedades básicas las conoces. Ciertamente la integral de Wiener la puedes interpretar como una integral de caminos, de hecho para varias ecuaciones (como la del calor en el artículo de Itô) se tiene una relación parecida a la que hay entre la integral de caminos de Feynman y la ecuación de Schrödinger. En este sentido igual te es útil saber sobre la fórmula de Feynman-Kac.

¿Esto si está formalizado?

Sí. De hecho se utiliza en el contexto de la probabilidad así que podríamos decir que esto nació formalizado.

Sé que $\int e^{iS[x]} Dx$ es pura notación, pero la interpretación física de lo que es, como "sumar" $e^{iS[x]}$ por cada camino posible inclusive la matemática tras su cálculo (que recuerda al cálculo de la integral de Riemman expuesto en todo libro de matemáticas para ingeniería), recuerdan a la integral de ese funcional respecto de alguna medida $Dx$ que "trata a todas las funciones por igual", que no da preferencia a ningún conjunto específico de funciones.

Es cierto que parece una integral funcional, pero de parecer a ser hay un mundo. Además que no todos los intentos de formalización capturan la física que hay detrás así que por ahora es un tema abierto.

Si la medida de Weiner, o su construcción siguen reglas parecidas como una "integral" respecto de "todos los caminos posibles" de una cierta cantidad con forma gaussiana, no entiendo que por qué esta medida $d\mu_W$ si está bien definida pero no $Dx$.

$\mathcal{D}x$ nunca fue definido para empezar. A priori lo primero que uno piensa al ver la integral de caminos es que $\mathcal{D}x$ es la medida de Lebesgue porque, al fin y al cabo, es la medida habitual que usamos para integrar. Pero resulta que el espacio de caminos es de dimensión infinita, y en este tipo de espacios no existe ninguna medida invariante por translaciones por lo que $\mathcal{D}x$ no puede ser la medida de Lebesgue. Toca buscar alternativas, y una de ellas es la medida de Wiener, pero no es la respuesta definitiva ni mucho menos. De hecho todos estos problemas con las medidas dan a entender que existe la posibilidad de que la integral de caminos no sea una integral. El tiempo dirá.