Divulgación Funciones analíticas, variable compleja

[The Higgs Particle]

¿Cuál es la esencia de las funciones analíticas? Quiero decir, sé que son aquellas que cumplen la relación de Cauchy-Riemann y que por ejemplo hacen válido teoremas como el de Cauchy-Goursat, que parece pura magia, pero ¿por qué es esta asignatura -variable compleja- tan central para un físico? ¿Se debe a que cualquier función analítica puede verse como una solución a la ecuación de Laplace para unas condiciones de contorno concretas?

[Weip]

Re: Funciones analíticas, variable compleja

¡Hola! Ya hace unos meses desde que formulastes la pregunta y no sé si encontrastes alguna respuesta pero al ver el hilo me he puesto a pensar en ello. Tal como has comentado al hablar de análisis complejo lo primero se nos viene a la cabeza es el teorema de Cauchy y toda la cascada de teoremas que se pueden deducir a partir de él. Todos estos resultados tienen muchísimas aplicaciones en otras ciencias e ingenierías pero si tuviera que decir una sin lugar a dudas escogería el teorema de los residuos. Este teorema permite calcular integrales reales de una forma tan rápida y simple que incluso asusta. Me viene a la mente una frase de Hadamard que decía “El camino más corto entre dos verdades del análisis real pasa por el análisis complejo”. En este sentido el teorema de los residuos encaja a la perfección con la idea que quería expresar Hadamard. Las aplicaciones en física de este teorema son muy directas: al fin y al cabo, en cualquier rama de la física te puedes encontrar con integrales difíciles, y muchas veces usar el análisis real para resolverlas puede llegar a ser un infierno mientras que usando residuos la historia se simplifica mucho, tanto que incluso en algunos casos concretos la tarea se vuelve rutinaria. No me atravería a decir que esta es la esencia de las funciones analíticas porque al final casi todos los teoremas de análisis complejo son conceptualmente muy bonitos a la vez que tienen aplicaciones importantes y el teorema de los residuos es solo una de ellas pero te he hablado de él porque creo que es la aplicación más directa y con la que todo el mundo se siente más cómodo. Preguntes a quien preguntes todos te dirán que calcular integrales es importante así que la utilidad del teorema de los residuos en ciencias e ingenierías es indiscutible .

[Visitante]

Re: Funciones analíticas, variable compleja

Yo tenía entendido que las funciones analíticas eran importantes porque podían ponerse como una serie de potencias y con eso puedes hacer muchas cosas ¿Me equivoco?

[Weip]

Re: Funciones analíticas, variable compleja

Yo tenía entendido que las funciones analíticas eran importantes porque podían ponerse como una serie de potencias y con eso puedes hacer muchas cosas ¿Me equivoco?

En efecto, que las funciones holomorfas sean analíticas y viceversa es un resultado importante en análisis complejo y, cómo no, se sigue del teorema de Cauchy, que es el teorema estrella. De él también se siguen la fórmula integral de Cauchy, el principio de prolongación analítica, los principios del módulo máximo y mínimo, el teorema de Liouville, el teorema de Rouché, el desarrollo en serie de Laurent, el teorema de los residuos... ¡Incluso el teorema fundamental del álgebra! Y mientras se van demostrando estas cosas ahí detrás hay conexiones con la topología y otras áreas. Aunque al final es lo que he dicho antes: son tantas cosas que elegir un resultado destacado para que sea “la esencia de las funciones analíticas” es difícil, más si se quiere analizar desde el punto de vista de las aplicaciones a la física. En mi opinión lo más directo es el teorema de los residuos por el tema de poder calcular integrales difíciles sin despeinarse pero de cada uno de los teoremas que he comentado se aplican en mil sitios más, lo que pasa es que igual no es tan directo e igual cuesta más tiempo de apreciar.

Aprovecho para comentar que siempre me se me ha hecho un poco raro decir “funciones analíticas”. Porque si te dicen que las funciones analíticas son analíticas (que es lo que te han dicho, pues las funciones analíticas son las que tienen desarrollo en serie de potencias) queda como algo trivial sin más, pero lo cierto es que es algo muy sorprendente porque no es cierto con funciones diferenciables. Este hecho tan simple hace que el análisis complejo sea superior conceptualmente al análisis real. Es por eso que yo prefiero hablar de funciones holomorfas. Y ahora que lo pienso decir “funciones analíticas” es casi un spoiler porque realmente la demostración de que las funciones holomorfas son analíticas y viceversa se ve al final de una asignatura típica de análisis complejo o al menos a mi me lo enseñaron así.

[Visitante]

Re: Funciones analíticas, variable compleja

Y otra pregunta, en análisis de variable real me demostraron que la función coseno es analítica y la definición de la función coseno como serie de potencias es equivalente a la de toda la vida, pero ¿Cuál deberíamos tomar como correcta?

[Weip]

Re: Funciones analíticas, variable compleja

Y otra pregunta, en análisis de variable real me demostraron que la función coseno es analítica y la definición de la función coseno como serie de potencias es equivalente a la de toda la vida, pero ¿Cuál deberíamos tomar como correcta?

Al final es cuestión de definiciones así que no hay opciones correctas o incorrectas. Aún así yo te diría que a la larga en análisis real verás más la definición mediante serie de potencias. En análisis complejo ya depende un poco del libro, algunos lo definirán mediante la serie de potencias pero otros primero te hablaran de la exponencial compleja:

$e^z=\dst\sum_{n = 0}^\infty \dst\frac{z^n}{n!}$

Y luego te definirán:

$\cos(x)=\dst\frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{-ix}\right)$

La diferencia en cada definición es la manera de derivar las propiedades usuales del coseno y cada libro usará la forma más rápida de llegar a las propiedades que quiere usar pero más allá de esto es cuestión de preferencias. En otros conceptos igual sí es más importante el cómo se definen las cosas: algunas definiciones capturan más la parte conceptual del asunto, otras prefieren priorizar las aplicaciones, o la parte calculística... Pero bueno de esto podríamos estar hablando mucho y nos desviaríamos del tema.