Divulgación Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

[inakigarber]

Buenas noches;

A vueltas con la mecánica cuántica, tengo una duda sobre el producto de campana de Gauss por su transformada de Fourier. Tengo claro que la transformada de Fourier se una campana Gaussiana $G_{x}$ es otra campana Gaussiana inversa a la original $H_{k}$, de manera que cuando la primera es ancha la segunda es estrecha y viceversa. Cuando la anchura de la primera se multiplica por un factor (q), la segunda se divide por el mismo factor, de tal manera que el producto de la anchura de una por la anchura de la otra permanece constante. He subido una gráfica a esta dirección. Me pierde el hecho que se diga que $\Delta_x \Delta_k\geqslant 1$
¿Tiene la transformada de Fourier infinitas soluciones de las cuales la mas "estrecha" es la que da la igualdad $\Delta_x \Delta_k= 1$? si es así ¿porque?
Saludos y gracias.

[carroza]

Re: Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

Hola.

Efectivamente, la transformada de Fourier de una gaussiana es otra gaussiana, y si a ambas distribuciones les calculas su desviación estándar, se cumple que el producdo de las desviaciones estándar es siempre la unidad. Para gaussianas, $\sigma_x \sigma_k = 1$

Sin embargo, si tomas otra función (normalizable), que no sea una gaussiana (por ejemplo, una Lorentziana, $f(x)=1/(x^2 + a^2)$), entonces su transformada de fourier es una función diferente (en este caso, una exponencial $\widetilde f(k) = C exp(-a |k|)$), y si calculamos las desviaciones estándar de ambas, su producto es mayor que uno $\sigma_x \sigma_k > 1$
(infinito, para lorentzianas).

Saludos

[inakigarber]

Re: Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

Hola.

Efectivamente, la transformada de Fourier de una gaussiana es otra gaussiana, y si a ambas distribuciones les calculas su desviación estándar, se cumple que el producdo de las desviaciones estándar es siempre la unidad. Para gaussianas, $\sigma_x \sigma_k = 1$....

Supongo que he debido equivocarme al calcular las desviaciones de ambas gaussianas (en su tiempo no estudié muchas matemáticas -ni me gustaban ni me sentía capacitado) y ahora arrastro una gran ignorancia. En Internet encontré que la desviación standard correspondía a la altura $\sigma= e^{(-1 / 2)} |A|$, donde A sería el valor máximo de la función, entendí que el valor de $\Delta$ (que en este caso consideré como la desviación standard) correspondería con la anchura de la función para esa altura, tanto en la función G(x) como en su transformada de Fourier G(k). Al obtener el producto de ambos valores me sale un valor prácticamente constante (la fluctuación es del orden de $10^{-7}$ que consideré debido a algún error de cálculo del ordenador) de 4. Bien, la primera gráfica es una función de x y la segunda una función de k, pero a la hora de graficarlas simultáneamente en ordenador debo graficarlas ambas en función de x, al menos yo no he sabido hacerlo de otra manera. Ahora no estoy seguro de si la fórmula arriba indicada es correcta o no.

Sin embargo, si tomas otra función (normalizable), que no sea una gaussiana (por ejemplo, una Lorentziana, $f(x)=1/(x^2 + a^2)$), entonces su transformada de fourier es una función diferente (en este caso, una exponencial $\widetilde f(k) = C exp(-a |k|)$), y si calculamos las desviaciones estándar de ambas, su producto es mayor que uno $\sigma_x \sigma_k > 1$
(infinito, para lorentzianas).

Saludos

No entiendo muy bien lo de normalizable, supongo que forma parte de mi ignorancia.

Según esto, cualquier paquete de onda que tuviera una forma distinta de una gaussiana, dará lugar que $\Delta_x \Delta_k>1$, es decir, que en una gaussiana obtendría siempre $\Delta_x \Delta_k=1$
¿es esto correcto?

- - - Actualizado - - -

Perdón, no habia leido este párrafo

(en este caso, una exponencial $\widetilde f(k) = C exp(-a |k|)$), y si calculamos las desviaciones estándar de ambas, su producto es mayor que uno $\sigma_x \sigma_k > 1$
(infinito, para lorentzianas).

Saludos

Luego, ¿cual sería la función para el caso $\sigma_x \sigma_p = 1$?

Saludos y gracias.

[carroza]

Re: Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

Hola.

A ver, algunos conceptos básicos:

Una función $f(x)$ es normalizable si $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = C$, donde C es un numero finito. En lo que sigue, redefinimos $f(x)$ como $f(x)/C$, con lo que se cumple que $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x = 1$,

El valor medio, o valor esperado de x es $\bar x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) x dx$. Para distribuciones simétricas en torno a x=0, se cumple que $\bar x = 0$.

La desviación estandar $\sigma_x$ se define a partir de la relación $\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) (x- \bar x)^2 dx$.

Con estas definiciones, puedes comprobar explícitamente que para cualquier gaussiana, si consideras también su transformada de fourier, se cumple que $\sigma_x \sigma_k = 1$. Para cualquier otra función, se cumple que $\sigma_x \sigma_k > 1$. Por tanto, si conoces que, para una distribución desconocida $f(x)$, se cumple que $\sigma_x \sigma_k = 1$, entonces puedes deducir que dicha distribución es una gaussiana, aunque no sabes ni su media, ni su anchura.

Saludos

[inakigarber]

Re: Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

...
A ver, algunos conceptos básicos:

Una función $f(x)$ es normalizable si $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = C$, donde C es un numero finito. En lo que sigue, redefinimos $f(x)$ como $f(x)/C$, con lo que se cumple que $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x = 1$,

Bien, entendido la integral definida entre $\infty y -\infty$ de una función normalizada (por ejemplo una campana de Gauss) vale 1. La transformada de Fourier de esta campana, es otra campana (esta inversa a la anterior). Esta segunda campana ¿Sería también una función normalizada? Creo que si, he tratado de comprobarlo, pero me he liado. En este caso sí ocurriria que $\sigma_x \sigma_k=1$ ¿correcto?

...El valor medio, o valor esperado de x es $\bar x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) x dx$. Para distribuciones simétricas en torno a x=0, se cumple que $\bar x = 0$...

Porque la cantidad de elementos en el lado positivo y en el negativo es la misma, por lo tanto se restan.

...La desviación estandar $\sigma_x$ se define a partir de la relación $\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) (x- \bar x)^2 dx$.

Con estas definiciones, puedes comprobar explícitamente que para cualquier gaussiana, si consideras también su transformada de fourier, se cumple que $\sigma_x \sigma_k = 1$. Para cualquier otra función, se cumple que $\sigma_x \sigma_k > 1$. Por tanto, si conoces que, para una distribución desconocida $f(x)$, se cumple que $\sigma_x \sigma_k = 1$, entonces puedes deducir que dicha distribución es una gaussiana, aunque no sabes ni su media, ni su anchura.

Saludos

Creo que lo voy entendiendo, aunque necesitaré algún tiempo.

[inakigarber]

Re: Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

Buenas tardes;
Buscando más información sobre el tema que expuse hace unos días, he encontrado esta información que quisiera compartir con vosotros, creo que el artículo y el vídeo a que enlaza son interesantes.

Finalmente, y ya un poco por curiosidad, me gustaría saber donde poder obtener información para entender el como se deduce la fórmula de la transformada de Fourier (en el vídeo no me ha quedado claro).

Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

... me gustaría saber donde poder obtener información para entender el como se deduce la fórmula de la transformada de Fourier

Supongo que como "fórmula" te estás refiriendo a:

$\dst g(\xi ) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx$

No se deduce de nada, es una definición. Y la Transformada de Fourier se define así porque tiene, como sabes, aplicaciones útiles el definirla de esa forma.

Saludos.

[inakigarber]

Re: Producto de campana de Gauss y transformada de Fourier de dicha campana

Supongo que como "fórmula" te estás refiriendo a:

$\dst g(\xi ) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx$

No se deduce de nada, es una definición. Y la Transformada de Fourier se define así porque tiene, como sabes, aplicaciones útiles el definirla de esa forma.

Saludos.

Si, me refería a dicha expresión, y ciertamente tiene multitud de aplicaciones (el oído humano es quizá un buen ejemplo de ello). Pensaba (tal vez equivocadamente) que era una deducción fruto de un racionamiento lógico que me gustaría entender.

Saludos y gracias.