Divulgación ¿Es posible construir campanas de Gauss Normalizables?

[inakigarber]

Buenas noches;
En este hilo cuyo enlace anexo, post #4 se define que una función es normalizable si "una función $f(x)$ es normalizable si $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = C$, donde C es un número finito..."

He tratado de ver como podría ser una campana de ese tipo (en el que el área siempre sería constante independientemente de su anchura, por ejemplo 1) pero no he podido hacerlo.
Obviamente si existe una campana de ese tipo su altura máxima debe ser variable (grande cuando la distribución espacial es estrecha y pequeña cuando es ancha) para poder mantener la proporcionalidad, he supuesto que la transformada de Fourier de esta función sería otra campana de Gauss (como ocurre en todas las Gaussianas) también normalizable y que en este caso sí que se daría la condición de $\sigma_x \sigma_k=1$. Pero, la verdad, no sé si no estoy de nuevo persiguiendo fantasmas.

¿Tiene remedio lo mio?
Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: ¿Es posible construir campanas de Gauss Normalizables?

Lo que dices es correcto.

En general una gaussiana es una función de la forma $\dst f(x)=A\ee^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}$, donde $A$, $b$ y $c$ son constantes.

La idea de la normalización consiste, como dices, en que el resultado de la integral sobre el intervalo completo de valores de la variable independiente sea un valor finito concreto, a menudo 1. Obviamente, eso impone una restricción al trío $A$, $b$ y $c$. Puesto que $\dst\int_{-\infty}^\infty A\ee^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}\dd x=A|c|\sqrt{2\pi}$, si queremos normalizar a la unidad entonces basta con hacer que $\dst A=\frac{1}{|c|\sqrt{2\pi}}$

Así pues, la gaussiana normalizada a la unidad es $\dst f(x)=\frac{1}{|c|\sqrt{2\pi}}\ee^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}$

Como bien dices, la anchura de la curva viene regulada por $c$ (que es el parámetro que coincide con $\sigma_x$), que también condiciona la altura del pico, que se da en $x=b$, $\dst f(b)=\frac{1}{|c|\sqrt{2\pi}}$. Como ves ambas cosas son inversamente proporcionales.

[inakigarber]

Re: ¿Es posible construir campanas de Gauss Normalizables?

Gracias por tu respuesta.
En este caso que propones me sale un área $1/\sqrt{2}$. Me tomaré mi tiempo para responder a las preguntas que me planteo. De momento, ya tengo material para seguir pensando. Espero aportar más post a este hilo.

Saludos y gracias.
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P.D. Me había equivocado a la hora de introducir los datos en Geogebra, con datos correctos me sále un área A=1.

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Lo que dices es correcto....

Así pues, la gaussiana normalizada a la unidad es $\dst f(x)=\frac{1}{\|c|\sqrt{2\pi}}\ee^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}$

Como bien dices, la anchura de la curva viene regulada por $c$ (que es el parámetro que coincide con $\sigma_x$), que también condiciona la altura del pico, que se da en $x=b$, $\dst f(b)=\frac{1}{|/c/|\sqrt{2\pi}}$. Como ves ambas cosas son inversamente proporcionales.

Bueno, me pongo manos a la obra, pero no sé si alcanzo el resultado deseado. Se trata de definir la transformada de Fourier de la función $\dst f(x)$.
$\dst H_k=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{\left(\dfrac{-x^2}{2c^2}\right)}}{|c|\sqrt{2\pi}}e^{(-ikx)}dx$
Sacando de la integral las constantes,

$H_k=\dfrac{1}{2 |c| \pi}\dst\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left(-\dfrac{x^2}{2c^2}-ikx\right)}dx$

Siguiendo la línea de este blog establezco;
$-\dfrac{x^2}{2c^2}-ikx-A^2k^2=-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}c)+Ak^2}\right)$

Esto me da un valor de $A=i\sqrt{2}c$
Siguiendo el modo de operar que se explica en el mencionado blog y considerando que $i^2=-1$, me sale (si no me equivoco).
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ya no soy capaz de avanzar más. Bien, como la variable $c$ que es la que determina la anchura de ambas campanas aparece en $f(x)$ dividiendo y en $\dst H(k)$ multiplicando el exponente, ambas campanas serán inversas. Por otra parte, al definir la integral sobre x, desaparece esta variable de la integral.

Pero no llego a resolver la integral.

¿Es correcto lo que he hecho? y si lo es ¿cómo puedo avanzar?

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: ¿Es posible construir campanas de Gauss Normalizables?

Veo algunas cosas mal. Pero no sé si son por mala transcripción.

Partamos, como dices, de $\dst H_k=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\ee^{-\dfrac{x^2}{2c^2}}}{|c|\sqrt{2\pi}}e^{-ikx}\dd x=\dfrac{1}{2 |c| \pi}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\left(\dfrac{x^2}{2c^2}+ikx \right)}\dd x$

Ahora vamos a buscar convertir el exponente en un cuadrado. Para ello vamos a hacer el truco que se indica en el blog: multiplicamos por $\ee^{A^2k^2}$ y por $\ee^{-A^2k^2}$: $\dst H_k=\dfrac{\ee^{A^2k^2}}{2 |c| \pi}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\left(\frac{x^2}{2c^2}+ikx+A^2k^2 \right)}\dd x$.

Para que $\dst \dfrac{x^2}{2c^2}+ikx+A^2k^2=\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}|c|}+Ak\right)^2$ debe suceder que $\dst ikx=2\dfrac{x}{\sqrt{2}|c|}Ak$, es decir, que $\dst A=\dfrac{|c|}{\sqrt{2}}i$.

Por tanto, tenemos que $\dst H_k=\frac{\ee^{-\dfrac{c^2k^2}{2}}}{2 |c| \pi}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}|c|}+\dfrac{|c|k}{\sqrt{2}}i \right)^2}\dd x$

Haciendo el cambio de variable $\dst z=\dfrac{x}{|c|}+|c|ki$ la integral anterior se nos transforma en la integral compleja $\dst H_k=\dfrac{\ee^{-\frac{c^2k^2}{2}}}{2 |c| \pi}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\frac{z^2}{2}}\dd z |c|=\dfrac{1}{2\pi}\ee^{-\frac{c^2k^2}{2}}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\frac{z^2}{2}}\dd z$

Como $\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{-\frac{z^2}{2}}\dd z=\sqrt{2\pi}$ finalmente resulta $\dst H_k=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\ee^{-\dfrac{c^2k^2}{2}}$

[inakigarber]

Re: ¿Es posible construir campanas de Gauss Normalizables?

Donde escribí

Siguiendo la línea de este blog establezco;
$-\dfrac{x^2}{2c^2}-ikx-A^2k^2=-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}c)+Ak^2}\right)$

Quise escribir $-\dfrac{x^2}{2 c^2}-ikx-A^2k^2=-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}c}+Ak\right)^2$

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...
Para que $\dst \dfrac{x^2}{2c^2}+ikx+A^2k^2=\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}|c|}+Ak\right)^2$ debe suceder que $\dst ikx=2\dfrac{x}{\sqrt{2}|c|}Ak$, es decir, que $\dst A=\dfrac{|c|}{\sqrt{2}}i$.
...

Aquí también me equivoque; el resultado correcto es el que tú pones $A=\dfrac{|c|}{\sqrt{2}}i$

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...
Por tanto, tenemos que $\dst H_k=\frac{\ee^{-\dfrac{c^2k^2}{2}}}{2 |c| \pi}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}|c|}+\dfrac{|c|k}{\sqrt{2}}i \right)^2}\dd x$

Haciendo el cambio de variable $\dst z=\dfrac{x}{|c|}+|c|ki$ la integral anterior se nos transforma en la integral compleja $\dst H_k=\dfrac{\ee^{-\frac{c^2k^2}{2}}}{2 |c| \pi}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\frac{z^2}{2}}\dd z |c|=\dfrac{1}{2\pi}\ee^{-\frac{c^2k^2}{2}}\dst\int_{-\infty}^{\infty} \ee^{-\frac{z^2}{2}}\dd z$

Como $\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{-\frac{z^2}{2}}\dd z=\sqrt{2\pi}$ finalmente resulta $\dst H_k=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\ee^{-\dfrac{c^2k^2}{2}}$

Me ha sorprendido el hecho de que el resultado final de la transformada de Fourier de una campana normalizada no fuera otra campana normalizada.