1r ciclo Duda conceptual sobre vectores duales

[Schwarze97]

Buenas,

Definimos un vector de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ de dimensión 2 y lo representamos con un ket [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . El vector dual vendrá representado por un bra [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

El espacio dual de $\mathcal{H}$ será $\mathcal{L}(\mathcal{H},\mathbb{C})$ y sus elementos son aplicaciones lineales $f : \mathcal{H} \to \mathbb{C}$. Entonces el vector dual de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es una de estas funciones y se define como $f(\varphi) = \left< \psi| \varphi \right>, \varphi\in\mathcal{H}$.

Mi pregunta es: cómo encajan estas dos formas de ver el vector dual? Como pasamos de verlo como una función $f(\varphi) \in \mathcal{L}(\mathcal{H},\mathbb{C})$ a verlo como un bra supuestamente también [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ? No se supone que $\mathcal{L}(\mathcal{H},\mathbb{C})$ es de dimensión infinita? Por qué parece que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sea de dimensión 2?

He leído que la respuesta a esto la puede dar el teorema de representación de Riesz pero por lo que he visto sólo dice que $f$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tienen la misma norma. Cómo interpreto eso?
Porque veo que pasa algo parecido con los vectores bajo transformaciones de Lorentz y fuera de espacios de Hilbert. Tenemos ${A}^{\mu } = ({a}^{0},{a}^{1},{a}^{2},{a}^{3})$ y su dual ${A}_{\mu } = ({a}_{0},{-a}_{1},{-a}_{2},{-a}_{3})$ no parece ser una función de un espacio de dimensión infinita.

Por qué pasa esto? Probablemente tenga algún error conceptual desde hace tiempo interiorizado en mi cabeza.

Gracias

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Por algún motivo, no me salen bien escritos en LaTex los kets [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Weip]

Re: Duda conceptual sobre vectores duales

Hola.

No se supone que $\mathcal{L}(\mathcal{H},\mathbb{C})$ es de dimensión infinita? Por qué parece que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sea de dimensión 2?

No, si $\mathcal{H}$ es de dimensión finita, como es el caso, entonces su dual tiene la misma dimensión. Por tanto la dimensión del dual es 2 porque $\mathcal{H}$ es de dimensión 2. Una cosilla de notación: para separar las componentes de un vector del dual no uses comas, simplemente no pongas nada, porque si pones coma se entiende que hablas de un vector normal y corriente, de una matriz columna (y el vector del dual es una matriz fila).

Mi pregunta es: cómo encajan estas dos formas de ver el vector dual? Como pasamos de verlo como una función $f(\varphi) \in \mathcal{L}(\mathcal{H},\mathbb{C})$ a verlo como un bra supuestamente también [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

He leído que la respuesta a esto la puede dar el teorema de representación de Riesz pero por lo que he visto sólo dice que $f$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tienen la misma norma. Cómo interpreto eso?

Este teorema tiene varios apartados pero lo importante para lo que nos ocupa es que te dice que existe un único $\varphi\in\mathcal{H}$ tal que $f(\psi)=\left<\psi|\varphi \right>$. Lo que quiere decir esto es que puedes hacer una correspondencia entre kets y bras tal y como venías haciendo hasta hora sin ningún problema ya que $\mathcal{H}$ y su dual son isomorfos.

[Alriga]

Re: Duda conceptual sobre vectores duales

... Por algún motivo, no me salen bien escritos en LaTex los kets [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ...

Es porque escribes [TEX]|\psi \right>[/TEX] y se ve [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Deberías escribir [TEX]\left|\psi\right>[/TEX] y entonces se ve $\left|\psi\right>$

En general LaTeX ejecuta \left correctamente, aunque después no haya ningún \right

Pero ignora cualquier \right si antes no se ha insertado algún \left

Saludos.