Divulgación Consulta sobre integral de Gauss

[inakigarber]

Buenas noches;

Siguiendo este enlace, cuyo desarrollo final entiendo, hay sin embargo un aspecto que me plantea dudas, el problema, por tanto consiste en resolver la integral siguiente;
$H_k=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^-(a^2 k^4 /4)\int_{-\infty}^\infty e^{- \left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{iak}{2}\right)^2}\dd x$
El autor da como resultado;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Sin explicar los pasos intermedios;
Aunque comprendo el contexto general y el resultado final del trabajo, este paso me ha resultado conflictivo y he tratado de desarrollarlo, pero no se si lo he hecho bien, veamos;
Establezco;
$\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{iak}{2}\right)=\omega$, por tanto;
$d\omega=\dfrac{dx}{a}$, por lo que me queda $dx=a d\omega$
Sustituyo;
$H_k=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^-(a^2 k^4 /4)\int_{-\infty}^\infty e^{-(\omega^2)}\dd x$
Como;
$\int_{-\infty}^\infty e^{-(\omega^2)}\dd x=\sqrt{\pi}$
El resultado que me da es el siguiente;
$H_k=\dfrac{a e^{\left(-\dfrac{a^2 k^2}{4}\right)}}{\sqrt{2}}$, de manera que el factor $\sqrt{\pi}$ desaparece del resultado final,

¿es esto correcto?

Saludos y gracias.