Divulgación ¿Puede un mismo concepto físico (y matemático) tener dos formulaciones distintas?

[inakigarber]

Buenos dias;
Buscando y leyendo información sobre las matemáticas inherentes a las series y transformaciones de Fourier (imprescindibles para comprender muchos de los procesos en física y en otros aspectos), me he encontrado con un aspecto que no consigo entender.

Por una parte, veo que se suele escribir de la siguiente manera $g(k)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ee^{-ikx}\dd x$,
pero también me las encuentro escritas de esta otra manera; $g(k)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ee^{ikx}\dd x$

Si bien no me había dado cuenta de esta diferencia hasta ayer leyendo este texto (página 12), hoy repasando uno de mis hilos anteriores en este foro he encontrado las mismas dos formulaciones en este hilo (#2), que en ese momento me pasaron desapercibidas. Supongo que ambas formulaciones son equivalentes y significan lo mismo pero ¿como?

Si ambas representan a la misma función $g(k)$
¿porque en una aparece la raiz y en la otra no? ¿porque en un caso aparece un exponente imaginario positivo y en el otro no?

La esencia de la transformada esta en que cualquier perturbación en el espacio (por ejemplo un impulso o un paquete de ondas) se puede descomponer en una perturbación en el dominio de la frecuencia de manera que si la perturbación decrece en el dominio del espacio se incrementa en el de la frecuencia y viceversa. Creo que eso lo entiendo bien, pero esos detalles que me pasaron desapercibidos en su momento, no puedo quitármelos de la cabeza.

Espero que algún día pueda entenderlos.

Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: ¿Puede un mismo concepto físico (y matemático) tener dos formulaciones distintas?

Hay varias convenciones, repasa Fourier transform Other conventions

Saludos.

[arivasm]

Re: ¿Puede un mismo concepto físico (y matemático) tener dos formulaciones distintas?

Mi contribución a la pregunta de Iñaki es la siguiente: al hacer una transformada de Fourier estamos cambiando la representación del dominio en el tiempo a la de la frecuencia (o viceversa). El factor que aparece antes de la integral solo cambia la amplitud de la transformada. ¿Por qué es hasta cierto punto irrelevante? Porque la información interesante no es la altura absoluta de los diferentes picos de la transformada, sino sus alturas relativas.

Un ejemplo musical: la figura siguiente muestra la transformada de Fourier del sonido emitido por un piano al tocar el do# de la 5ª octava (fuente: https://www.researchgate.net/figure/...fig1_229037089)

Lo relevante no es la altura de los picos, pues depende tan solo del volumen con el que se emita el sonido. Si se da la nota suavito o golpeando la tecla con fuerza la transformada (la gráfica) será prácticamente de la misma forma, salvo que en el segundo caso los picos son más altos; eso sí, todos multiplicados por el mismo valor. Lo importante es, en cambio, las alturas relativas, el que la componente de mayor amplitud no será la de frecuencia igual a la nota base (el pico marcado con la flecha), sino la de frecuencia doble, etc.

La información importante de la transformada de Fourier está en que nos dice cuáles son, y en qué cantidad relativa, los ingredientes harmónicos de f(x).

¿Por qué a veces se define con un factor $1/\sqrt{2\pi}$ en ambas transformadas, directa e inversa, mientras que otras la directa lleva un factor $1/2\pi$ mientras que la inversa lleva un 1? Porque al hacer consecutivamente ambas transformaciones debemos obtener de nuevo la función original. Como para ello el producto de ambos factores debe ser $1/2\pi$ tanto da que la definición asigne los factores de la primera manera o de la segunda, o de otra cualquiera con tal de que se cumpla lo anterior.

Es decir, poco cambio habrá si nos empeñamos en definir la transformada de Fourier como $g(k)=\dfrac{1}{5}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ee^{ikx}\dd x$. Lo único que cambiará es que la transformada inversa deberá ser $f(x)=\dfrac{5}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(k)\ee^{-ikx}\dd k$.

[carroza]

Re: ¿Puede un mismo concepto físico (y matemático) tener dos formulaciones distintas?

Si se da la nota suavito o golpeando la tecla con fuerza la transformada (la gráfica) será prácticamente de la misma forma, salvo que en el segundo caso los picos son más altos; eso sí, todos multiplicados por el mismo valor. Lo importante es, en cambio, las alturas relativas, el que la componente de mayor amplitud no será la de frecuencia igual a la nota base (el pico marcado con la flecha), sino la de frecuencia doble, etc.

Hola. Un off-topic: Para mí que el timbre del sonido de un piano (precisamente, esta distribución relativa de los armónicos), puede depender significativamente de que se pulse la tecla fuerte o suave. Y, de hecho, a la hora de comprar altavoces caros, la cosa es que no se distorsione de forma perceptible el timbre conforme se modifica el volumen. Pero bueno, aparte del off-topic, me parece que el piano es un ejemplo pèrfecto para visualizar las transformadas de Fourier.

Un saludo

[arivasm]

Re: ¿Puede un mismo concepto físico (y matemático) tener dos formulaciones distintas?

el timbre del sonido de un piano (precisamente, esta distribución relativa de los armónicos), puede depender significativamente de que se pulse la tecla fuerte o suave.

Sí, siendo rigurosos tienes toda la razón y encima tocas mi alma musical: el golpe de los macillos no solo excita modos de vibración de la cuerda golpeada, sino que como parte de la energía se transmite al armazón, y a través de éste a otras cuerdas, así como a toda la caja del piano, ciertamente el timbre cambia. Si además el pianista es desastroso (como yo cuando juego con uno) las diferencias de timbre entre la suavidad y los aporreos pueden ser aún más significativas (si se escuchan crujidos en el mueble malo , sobre todo para el dueño del piano).

Todos los instrumentos musicales acústicos están afectados, en mayor o menor grado por este tipo de efectos (quizá las flautas sean de los que menos, dejando de lado el peso que pueda tener el sonido del soplo). En los electrónicos, tipo sintetizador, también puede suceder, pero en ese caso es, obviamente, porque se les programe para ello.

Digámosle a Iñaki que para pequeñas diferencias de volumen cambiará la altura de los picos, pero no su distribución relativa. Y que perdone esa deformación que solemos tener los docentes de exagerar y ocultar detalles, para simplificar la imagen que pretendemos transmitir.

Saludos.

[inakigarber]

Re: ¿Puede un mismo concepto físico (y matemático) tener dos formulaciones distintas?

Mi contribución a la pregunta de Iñaki es la siguiente: al hacer una transformada de Fourier estamos cambiando la representación del dominio en el tiempo a la de la frecuencia (o viceversa). El factor que aparece antes de la integral solo cambia la amplitud de la transformada. ¿Por qué es hasta cierto punto irrelevante? Porque la información interesante no es la altura absoluta de los diferentes picos de la transformada, sino sus alturas relativas...

Creo que he estado buscando fantasmas donde no los había, y claro, no he encontrado fantasmas. He vuelto a encontrar mi propia ignorancia, que es seguramente lo único que había. Mi idea era que la serie de Fourier se aplicaba para fenómenos oscilatorios que se repiten con un período finito, en tanto que la transformada de Fourier se aplicaba para oscilaciones de período infinito $T\to\infty$.

Habia pensado (erróneamente) que el factor $\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ aparecía como un resultado lógico del proceso de integración, ahora entiendo porque en su libro
Quantum mechanics (Pág 64) Definition of a gaussian wave packet , Cohen introduce una expresión como esta;


$\psi_{(x,0)}=\dfrac{\sqrt{a}}{(2 \pi)^{(3/4)}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\dfrac{a^2}{4}(\kappa-\kappa_0)^2}e^{i\kappa x}dk$.

[FONT=Verdana]...Lo relevante no es la altura de los picos, pues depende tan solo del volumen con el que se emita el sonido. Si se da la nota suavito o golpeando la tecla con fuerza la transformada (la gráfica) será prácticamente de la misma forma, salvo que en el segundo caso los picos son más altos; eso sí, todos multiplicados por el mismo valor. Lo importante es, en cambio, [/FONT][FONT=Verdana]las alturas relativas[/FONT][FONT=Verdana], el que la componente de mayor amplitud no será la de frecuencia iguala la nota base (el pico marcado con la flecha), sino la de frecuencia doble,etc.[/FONT].

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De manera que la información relevante (y desde luego no poca) que nos da la transformada de Fourier es la distribución de frecuencias.

[FONT=Verdana]...[/FONT][FONT=Verdana]¿Por qué a veces se define con un factor $1/\sqrt{2\pi}$ en ambas transformadas, directa e inversa, mientras que otras la directa lleva un factor$1/2\pi$ mientras que la inversa lleva un 1? Porque al hacer consecutivamente ambas transformaciones debemos obtener de nuevo la función original. Como para ello el producto de ambos factores debe ser$1/2\pi$ tanto da que la definición asigne los factores de la primera manera o de la segunda, o de otra cualquiera con tal de que se cumpla lo anterior.

[/FONT]Es decir, poco cambio habrá si nos empeñamos en definir la transformada de Fourier como $g(k)=\dfrac{1}{5}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ee^{ikx}\dd x$. Lo único que cambiará es que la transformada inversa deberá ser $f(x)=\dfrac{5}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(k)\ee^{-ikx}\dd k$.

Esto no lo he entendido muy bien, no entiendo muy bien ¿porque el producto de ambos factores debe ser [FONT=Verdana]$1/2\pi$?[/FONT]

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...Digámosle a Iñaki que para pequeñas diferencias de volumen cambiará la altura de los picos, pero no su distribución relativa. Y que perdone esa deformación que solemos tener los docentes de exagerar y ocultar detalles, para simplificar la imagen que pretendemos transmitir.

Saludos.

No hay nada que perdonar, en todo caso debiera ser yo quien pidiera perdón por el tiempo que os quito y por lo ignorante de mis comentarios.

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¿Por qué a veces se define con un factor $1/\sqrt{2\pi}$ en ambas transformadas, directa e inversa, mientras que otras la directa lleva un factor $1/2\pi$ mientras que la inversa lleva un 1? Porque al hacer consecutivamente ambas transformaciones debemos obtener de nuevo la función original. Como para ello el producto de ambos factores debe ser $1/2\pi$ tanto da que la definición asigne los factores de la primera manera o de la segunda, o de otra cualquiera con tal de que se cumpla lo anterior.

Es decir, poco cambio habrá si nos empeñamos en definir la transformada de Fourier como $g(k)=\dfrac{1}{5}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ee^{ikx}\dd x$. Lo único que cambiará es que la transformada inversa deberá ser $f(x)=\dfrac{5}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(k)\ee^{-ikx}\dd k$.

Buenas tardes;

Para aclarar dudas me he planteado resolver la transformada de Fourier de $G_{(x)}=e^{\left(-\dfrac{x^2}{a^2}\right)}$ aplicando $H_{(k)}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}G_{(x)}e^{(-ikx)}dx$ cuyo resultado me sale;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Me he preguntado si aplicando la transformada de Fourier en la forma antes escrita de la función $H_{(k)}$ obtendría la función original y la respuesta ha sido afirmativa, sale la función inicial.