2o ciclo Dual de Hodge

[Lorentz]

Buenos días,

¿Alguno podríais recomendarme un buen texto/apuntes introductorio al dual de Hodge en el que se trate de manera completa sin asumir pasos de por medio o al menos con una explicación en profundidad? Lo he visto alguna que otra vez pero no me aclaro con cuál es su utilidad. ¿Para qué se utiliza?

Un saludo

[Weip]

Re: Dual de Hodge

Buenas Lorentz.

Buenos días,

¿Alguno podríais recomendarme un buen texto/apuntes introductorio al dual de Hodge en el que se trate de manera completa sin asumir pasos de por medio o al menos con una explicación en profundidad? Lo he visto alguna que otra vez pero no me aclaro con cuál es su utilidad. ¿Para qué se utiliza?

Un saludo

La verdad es que no te sabría decir alguna referencia sobre el dual de Hodge. Es posible que encuentres explicaciones que te satisfagan en algun libro de electrodinámica que use formas diferenciales pero creo que esto depende de para qué quieras estudiar el dual de Hodge. En este contexto yo creo que su mayor utilidad es resumir las ecuaciones de Maxwell en solo dos:

$dF=0$

$d \star F=J$

Con este lenguaje no sólo tenemos dos ecuaciones en vez de cuatro sino que, sin hacer ningún cambio, sirven tanto en espactiotiempo plano como en espaciotiempo curvo. Además la primera ecuación es evidente a partir de la definición del tensor de campo electromagnético, y de $d \star F=J$ se sigue de forma trivial la conservación de la densidad de corriente. Sin el dual de Hodge no es posible escribir estas ecuaciones. No sé si esto te sirve como utilidad. Sé que se usa en otros contextos pero de eso ya no sé.

[Lorentz]

Re: Dual de Hodge

Gracias Weip, pero si me permites:

Con este lenguaje no sólo tenemos dos ecuaciones en vez de cuatro sino que, sin hacer ningún cambio, sirven tanto en espactiotiempo plano como en espaciotiempo curvo.

Esto ya se consigue escribiéndolas de este modo:

$\dst D^{\mu \nu};_\nu=J^{\mu}$

$\dst G^{\mu \nu};_\nu=0$

De modo que no veo cuál es la ventaja que introduce.

Un saludo

[Weip]

Re: Dual de Hodge

Hola de nuevo.

Gracias Weip, pero si me permites:



Esto ya se consigue escribiéndolas de este modo:

$\dst D^{\mu \nu};_\nu=J^{\mu}$

$\dst G^{\mu \nu};_\nu=0$

De modo que no veo cuál es la ventaja que introduce.

Un saludo

Si pones las ecuaciones en esta forma entiendo que igualmente has de cambiar derivadas por derivadas covariantes al pasar a un espactiotiempo curvo. Además dependen de las coordenadas e invisibilizan los efectos topológicos. Tampoco es la forma más adecuada de escribirlas si se quiere entender el electromagnetismo como una teoría gauge.

Al final la forma en la que he puesto las ecuaciones de Maxwell hace evidentes las principales características del electromagnetismo y según creo es un punto de vista valioso. Aún así poner las ecuaciones de Maxwell de una forma u otra depende más de tus necesidades que otra cosa. Por ejemplo si no estás interesado en las teorías gauge entonces usar formas diferenciales, el dual de Hodge y demás arsenal de geometría y topología es más un dolor de cabeza que una ventaja real.

No sé si te habré motivado para estudiar el dual de Hodge pero espero que otros usuarios te puedan recomendar referencias específicas y contarte más aplicaciones. Si quieres profundidad yo recomiendo "Geometry, Topology and Physics" de Mikio Nakahara aunque no sé si te convencerá porque las aplicaciones que da son muy teóricas. Aún así lo comento por si te sirve.

¡Saludos!

[Lorentz]

Re: Dual de Hodge

Si pones las ecuaciones en esta forma entiendo que igualmente has de cambiar derivadas por derivadas covariantes al pasar a un espactiotiempo curvo. Además dependen de las coordenadas e invisibilizan los efectos topológicos. Tampoco es la forma más adecuada de escribirlas si se quiere entender el electromagnetismo como una teoría gauge.

Sí, en efecto, las ecs que he puesto arriba incluyen las derivadas covariantes (las he denotado con ; ). Pero que yo sepa eso no depende de las coordenadas, quiero decir se emplean, pero está a tu libre elección. Y no entiendo a qué te refieres con que se invisibilizan los efectos topológicos.

No sé si te habré motivado para estudiar el dual de Hodge pero espero que otros usuarios te puedan recomendar referencias específicas y contarte más aplicaciones. Si quieres profundidad yo recomiendo "Geometry, Topology and Physics" de Mikio Nakahara aunque no sé si te convencerá porque las aplicaciones que da son muy teóricas. Aún así lo comento por si te sirve.

Lo de que es útil para tratarlo como una teoría Gauge la verdad es que sí me motiva a intentar comprender bien el dual de Hodge, aunque creo que hasta que no lo entienda bien no notaré los matices que comentas.

Gracias por tus respuestas, echaré un vistazo al libro. Aunque ya que dices que es muy técnico a ver si alguien me puede proporcionar información para empezar a introducirme en el tema.

Un saludo.