2o ciclo Campo conservativo

[Visitante]

Sé que si $\vec{f}(x,y)=\nabla F(x,y)$, entonces $\vec{f}$ es conservativo. Sin embargo, ¿Si $\vec{f}$ es conservativo, entonces existe una función $F(x,y)$ tal que $\vec{f}(x,y)=\nabla F(x,y)$? es decir ¿La condición es necesaria y suficiente?

[Ulises7]

Re: Campo conservativo

Sí. Una forma de demostrarlo es entendiendo que un campo conservativo es un campo irrotacional, es decir un campo vectorial cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio.

Si $\nabla \times \vec{f} = 0 \Leftrightarrow \exists F / \vec{f} = \nabla F$

Prueba:

$\nabla \times \vec{f} = \nabla \times \nabla F = 0$

El rotacional de un gradiente es idénticamente nulo. Esto es útil a la hora de escoger un gauge, por ejemplo al del potencial vector para desacoplar las ecuaciones de los potenciales y obtener las ecuaciones de onda no homogéneas.

pd: Para pasar de la forma diferencial a la integral (para ver con facilidad lo del campo conservativo), se utiliza el teorema de Stokes.

[Weip]

Re: Campo conservativo

Sé que si $\vec{f}(x,y)=\nabla F(x,y)$, entonces $\vec{f}$ es conservativo. Sin embargo, ¿Si $\vec{f}$ es conservativo, entonces existe una función $F(x,y)$ tal que $\vec{f}(x,y)=\nabla F(x,y)$? es decir ¿La condición es necesaria y suficiente?

¿Cómo te han definido el concepto de campo conservativo? Yo diría que la definición más habitual es justamente la de que es el gradiente de un potencial pero si no te lo han definido así entonces pueden suceder varias cosas. Por ejemplo, si te han definido un campo conservativo como un campo cuyo rotacional es nulo entonces este campo será el gradiente de un potencial si el dominio es simplemente conexo, es decir, si no tiene agujeros. El (contra)ejemplo típico es el del campo definido en $\mathbb{R}^2 - \left\{ (0,0) \right\}$:

$f(x,y)=\left( -\dst\frac{y}{x^2+y^2}, \dst\frac{x}{x^2+y^2}\right)$

Este campo tiene rotacional nulo (cuestión de calcular) pero no es el gradiente de un potencial porque el dominio $\mathbb{R}^2 - \left\{ (0,0) \right\}$ tiene un agujero. Si algun día te interesas por la topología (si no lo has hecho ya) el agujero del dominio hace que cierta forma diferencial cerrada definida a partir de $f$ no sea exacta. De hecho este problema es una de las motivaciones para introducir importantes teoremas de topología/geometría y de hecho el descubrir las teorías que se derivan de este problema es uno de los grandes motores de las matemáticas del siglo pasado y de este.

Edito: Así pues la respuesta de Ulises7 se ha de entender que es válida cuando el dominio es simplemente conexo. De hecho, su argumento prueba que todo campo conservativo es irrotacional pero el recíproco sólo se da en situaciones triviales en cuanto a topología, como por ejemplo cuando tu campo está definido en todo el plano.

[Visitante]

Re: Campo conservativo

¿Cómo te han definido el concepto de campo conservativo? Yo diría que la definición más habitual es justamente la de que es el gradiente de un potencial pero si no te lo han definido así entonces pueden suceder varias cosas. Por ejemplo, si te han definido un campo conservativo como un campo cuyo rotacional es nulo entonces este campo será el gradiente de un potencial si el dominio es simplemente conexo, es decir, si no tiene agujeros. El (contra)ejemplo típico es el del campo definido en $\mathbb{R}^2 - \left\{ (0,0) \right\}$:

$f(x,y)=\left( -\dst\frac{y}{x^2+y^2}, \dst\frac{x}{x^2+y^2}\right)$

Este campo tiene rotacional nulo (cuestión de calcular) pero no es el gradiente de un potencial porque el dominio $\mathbb{R}^2 - \left\{ (0,0) \right\}$ tiene un agujero. Si algun día te interesas por la topología (si no lo has hecho ya) el agujero del dominio hace que cierta forma diferencial cerrada definida a partir de $f$ no sea exacta. De hecho este problema es una de las motivaciones para introducir importantes teoremas de topología/geometría y de hecho el descubrir las teorías que se derivan de este problema es uno de los grandes motores de las matemáticas del siglo pasado y de este.

Edito: Así pues la respuesta de Ulises7 se ha de entender que es válida cuando el dominio es simplemente conexo. De hecho, su argumento prueba que todo campo conservativo es irrotacional pero el recíproco sólo se da en situaciones triviales en cuanto a topología, como por ejemplo cuando tu campo está definido en todo el plano.

El concepto que tenía de campo conservativo es el de bachillerato, que no importa el camino que cojas, el trabajo es el mismo. Aún no me lo han definido en matemáticas y topología lo damos ahora en 2º. El teorema de Stokes aún no lo he dado así que patino bastante en la demostración del recíproco.

Y aprovecho para preguntar ¿Por qué tiene que se coge como convención el - gradiente y no + gradiente del potencial?

[Ulises7]

Re: Campo conservativo

Tomemos como definición que un campo conservativo es aquel cuya circulación es nula independientemente del camino escogido. Pongamos por ejemplo el campo electrostático que es conservativo:

$\oint_C \vec{E} \cdot \dd \vec{l} = 0$

Esto implica que podemos asignar a cada punto del espacio un valor constante, a esta magnitud (porque en este caso tiene sentido físico) escalar la llamamos potencial eléctrico: V. Es un campo escalar que en el caso electrostático depende sólo de la posición: V = V(x,y,z).

Conviene tener en cuenta que hay que escoger un origen de los potenciales y que lo que tiene sentido físico es la diferencia de potenciales.

Por el Teorema de Stokes que dice que la integral de superfície del rotacional de un campo vectorial es igual a la circulación de este campo vectorial sobre una superficie cuyo contorno viene dado por la superfície anterior:

$\int_S \nabla \times \vec{E} \cdot \dd \vec{S} = \oint_C \vec{E} \cdot \dd \vec{l}$

Si la circulación de E es 0 para cualquier camino C, entonces el rotacional de E debe ser nulo y por tanto irrotacional:

$\oint_C \vec{E} \cdot \dd \vec{l}= 0 \Leftrightarrow \nabla \times \vec{E} = 0$

Y recordamos lo de que a cualquier campo irrotacional le podemos asignar un campo escalar cuyo gradiente da el campo vectorial.

Se escoge por convención ponerle signo negativo al gradiente porque el campo eléctrico siempre sale de las cargas positivas y muere en las negativas (ley de Gauss), es decir el campo va de potenciales mayores a potenciales menores. Como el gradiente es la tasa de cambio direccional de una función pues se pone el signo negativo para ser congruentes con nuestra elección del sentido del campo.

El Teorema de Stokes y el de la divergencia (o Gauss) los darás en segundo semestre en cálculo de varias variables y en EDOs, son muy importantes aunque cuando te lo presenten no lo parezca porque se utilizan contínuamente por ejemplo en el electromagnetismo para pasar de la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell a la forma integral y también para muchas demostraciones o implicaciones físicas importantes (como que el flujo magnético es la circulación del potencial vector).

[Weip]

Re: Campo conservativo

Hola de nuevo.

El concepto que tenía de campo conservativo es el de bachillerato, que no importa el camino que cojas, el trabajo es el mismo. Aún no me lo han definido en matemáticas y topología lo damos ahora en 2º. El teorema de Stokes aún no lo he dado así que patino bastante en la demostración del recíproco.

Vale en ese caso la propiedad de independencia del camino es equivalente a la del gradiente sin ningún problema pues la condición sobre el dominio es que sea conexo (de una pieza). Así que la respuesta a tu primera pregunta es que sí. De hecho a partir de ahora verás que se toma como definición de campo conservativo como aquél que es el gradiente de un potencial y el tema de la independencia del camino queda más aparte. Sobre las cuestiones topológicas no te preocupes demasiado por ahora, ya cuando hagas la asignatura de cálculo en varias variables en mates te comentarán alguna de estas cosillas.

Y aprovecho para preguntar ¿Por qué tiene que se coge como convención el - gradiente y no + gradiente del potencial?

Es una cuestión de convenciones. En mates suele escogerse la + y en física la -. La segunda es por aquello de que el trabajo hecho por una fuerza conservativa hace disminuir la energía potencial. Al final si haces los cálculos usando primero un criterio y luego el otro lo único que cambia serán algunos cambios de signo en las fórmulas, como por ejemplo el signo de la energía potencial en la definición de la energía mecánica.

[Visitante]

Re: Campo conservativo

Tomemos como definición que un campo conservativo es aquel cuya circulación es nula independientemente del camino escogido. Pongamos por ejemplo el campo electrostático que es conservativo:

$\oint_C \vec{E} \cdot \dd \vec{l} = 0$

Esto implica que podemos asignar a cada punto del espacio un valor constante, a esta magnitud (porque en este caso tiene sentido físico) escalar la llamamos potencial eléctrico: V. Es un campo escalar que en el caso electrostático depende sólo de la posición: V = V(x,y,z).

Conviene tener en cuenta que hay que escoger un origen de los potenciales y que lo que tiene sentido físico es la diferencia de potenciales.

Este paso no lo entiendo muy bien, ¿por qué puedes asignar a cada punto del espacio un valor constante? ¿Y a qué te refieres con sentido físico?

- - - Actualizado - - -

Y recordamos lo de que a cualquier campo irrotacional le podemos asignar un campo escalar cuyo gradiente da el campo vectorial.

He visto la demostración de que si es el gradiente de un campo escalar entonces el campo vectorial es irrotacional, pero no la demostración de que si es irrotacional entonces es el gradiente de un campo escalar.

[Ulises7]

Re: Campo conservativo

Este paso no lo entiendo muy bien, ¿por qué puedes asignar a cada punto del espacio un valor constante?

Porque si el rotacional de un campo vectorial E es 0, existe un potencial V, tal que el gradiente de V sea E. V es este punto del espacio de valor constante, como sinónimo de campo escalar.

¿Y a qué te refieres con sentido físico?

Pues que en este caso V, el potencial electrostático es una magnitud física que se puede medir y existe. Una pila por ejemplo no es más que un generador de tensión (una diferencia de potencial), un borne tiene potencial positivo y otro negativo y esta diferencia es la que creará un campo eléctrico que será el responsable de mover los electrones y que se produzca una corriente eléctrica.

Fíjate que la demostración matemática es para cualquier campo vectorial, en el caso del estudio del electromagnetismo el campo escalar V es muy real (físicamente).

- - - Actualizado - - -

He visto la demostración de que si es el gradiente de un campo escalar entonces el campo vectorial es irrotacional, pero no la demostración de que si es irrotacional entonces es el gradiente de un campo escalar.

No te acabo de entender porque para mí estaba claro en los posts anteriores los dos caminos. La parte que falta yo lo veo como consecuencia de la identidad matemática que el rotacional del gradiente es siempre idénticamente nulo. Por tanto a todos los campos irrotacionales se les puede asociar un campo escalar, porque se seguirá cumpliendo su carácter conservativo por la identidad previamente dicha. Lo puedes mirar de forma integral sino.

[Weip]

Re: Campo conservativo

Hola.

He visto la demostración de que si es el gradiente de un campo escalar entonces el campo vectorial es irrotacional, pero no la demostración de que si es irrotacional entonces es el gradiente de un campo escalar.

Por tanto a todos los campos irrotacionales se les puede asociar un campo escalar, porque se seguirá cumpliendo su carácter conservativo por la identidad previamente dicha.

Lo digo solo por si acaso no me expliqué bien: en general, los campos irrotacionales no son el gradiente de un campo escalar. Di un contraejemplo en el mensaje #3 y las condiciones bajo las cuales la implicación sí es cierta. No quiero ser titismiquis pero es que esta no es una cuestión menor precisamente.

[Visitante]

Re: Campo conservativo

Porque si el rotacional de un campo vectorial E es 0, existe un potencial V, tal que el gradiente de V sea E.

No te acabo de entender porque para mí estaba claro en los posts anteriores los dos caminos. La parte que falta yo lo veo como consecuencia de la identidad matemática que el rotacional del gradiente es siempre idénticamente nulo. Por tanto a todos los campos irrotacionales se les puede asociar un campo escalar, porque se seguirá cumpliendo su carácter conservativo por la identidad previamente dicha. Lo puedes mirar de forma integral sino.

Lo que decía de que no entendía aquel paso es porque lo diste por supuesto al principio, que si era irrotacional era equivalente a que existía un campo escalar cuyo gradiente era el campo vectorial. Pero es que no veo por qué que sea irrotacional y que el dominio sea simplemente conexo (aún no sé que significa) implica que exista ese campo escalar... Me gustaría ver la demostración y no darlo por supuesto.

La parte que falta yo lo veo como consecuencia de la identidad matemática que el rotacional del gradiente es siempre idénticamente nulo.

No estoy muy de acuerdo, pues para lo que dices asumes que existe ese gradiente cuando es lo que queremos demostrar, solo sabemos que el rotacional del campo vectorial es nulo y que el dominio es simplemente conexo. Si lo que dices es que si tomamos el gradiente de un campo escalar cualquiera y como el rotacional de dicho gradiente y el rotacional del campo vectorial nuestro son nulos, entonces el gradiente de esta función tiene que ser igual a nuestro campo vectorial. Pero yo no veo que una cosa implique la otra.

- - - Actualizado - - -

Pues que en este caso V, el potencial electrostático es una magnitud física que se puede medir y existe.

V no lo podemos medir realmente, lo que medimos es la diferencia de tensión, así que como decías lo que tiene sentido física es la diferencia de potenciales.

- - - Actualizado - - -

V es este punto del espacio de valor constante, como sinónimo de campo escalar.

¿V no sería un punto del espacio tetradimensional? Es que para representarlo necesitamos añadir una cuarta dimensión. El punto al que te refieres es la proyección de V en el espacio tridimensional.

[Weip]

Re: Campo conservativo

Hola de nuevo.

Lo que decía de que no entendía aquel paso es porque lo diste por supuesto al principio, que si era irrotacional era equivalente a que existía un campo escalar cuyo gradiente era el campo vectorial. Pero es que no veo por qué que sea irrotacional y que el dominio sea inconexo (aún no sé que significa) implica que exista ese campo escalar... Me gustaría ver la demostración y no darlo por supuesto.

"Inconexo" no significa nada. Lo que decía en el mensaje #3 es que el dominio ha de ser simplemente conexo, que, como expliqué, significa que no tiene agujeros. Por ejemplo esto de aquí no es simplemente conexo porque tiene agujeros, al igual que $\mathbb{R}^2-\left\{ (0,0)\right\}$ tampoco lo es por el mismo motivo. Esto que estoy diciendo no tiene rigor alguno pero tampoco es mi objetivo que entiendas cómo se formaliza. De hecho, tampoco es el objetivo del cálculo en varias variables, aunque sea necesario para enunciar este tipo de resultados. Al final lo que quiero es que tengas presente que esto de que la implicación "si un campo es irrotacional entonces es el gradiente de un campo escalar" solo se satisface con la condición de que el dominio no tenga agujeros, es decir, cuando el campo no tiene singularidades. Esto no es un mero tecnicismo y de hecho te lo irás encontrando aquí y allá, también en física, aunque no de forma explícita. Y al final, es la respuesta a la pregunta que has hecho.

Si con esta respuesta no estás convencido entonces podemos meternos en harina. Diremos que una curva $\gamma$ es simple si no tiene autointersecciones. Diremos que una región del plano $D$ es simplemente conexa si toda curva cerrada simple contenida en $D$ tiene su interior contenido en $D$. Es decir, $D$ no tiene agujeros.

Considera $\vec{F}$ un campo vectorial irrotacional con dominio una región $D$ simplemente conexa. Sea $\gamma$ una curva cerrada simple y sea $R$ su interior. Como el dominio es simplemente conexo entonces $R$ está contenido en $D$. Aplicamos el teorema de Green:

$\dst\oint_{\gamma}\vec{F} \cdot d\vec{r}=\int_R \vec{\nabla} \times\vec{F}$

Donde he puesto $\vec{\nabla} \times\vec{F}$ para referirme al rotacional escalar (es notación). Como el campo es irrotacional tenemos $\vec{\nabla}\times\vec{F}=0$, es decir:

$\dst\oint_{\gamma}\vec{F} \cdot d\vec{r}=0$

Como consecuencia, el campo es conservativo.

Una discusión de porqué el teorema de Green tiene las hipótesis que tiene nos llevaría demasiado lejos, sobretodo porque se pueden "aflojar", y como he dicho no es mi objetivo que entiendas todo esto en profundidad. Aún así, sí me gustaría que al menos te quedases con la idea general.

No te acabo de entender porque para mí estaba claro en los posts anteriores los dos caminos. La parte que falta yo lo veo como consecuencia de la identidad matemática que el rotacional del gradiente es siempre idénticamente nulo. Por tanto a todos los campos irrotacionales se les puede asociar un campo escalar, porque se seguirá cumpliendo su carácter conservativo por la identidad previamente dicha. Lo puedes mirar de forma integral sino.

Como dije, lo que has demostrado es que todo campo conservativo es irrotacional, que efectivamente es consecuencia del hecho de que el rotacional del gradiente es cero. Pero eso no te da ninguna demostración del recíproco que, tal como lo enuncias, es falso. De hecho esto también lo es:

Porque si el rotacional de un campo vectorial E es 0, existe un potencial V, tal que el gradiente de V sea E. V es este punto del espacio de valor constante, como sinónimo de campo escalar.

Lo que es cierto es, por ejemplo, que el campo eléctrico de una carga puntual es conservativo y por tanto irrotacional. Lo que tu dices es el recíproco, pero eso no es cierto, puesto que en este ejemplo que comento el campo eléctrico no está definido en $r=0$. No sé si me explico.

¡Saludos!

[Visitante]

Re: Campo conservativo

Hola de nuevo.


"Inconexo" no significa nada. Lo que decía en el mensaje #3 es que el dominio ha de ser simplemente conexo, que, como expliqué, significa que no tiene agujeros. Por ejemplo esto de aquí no es simplemente conexo porque tiene agujeros, al igual que $\mathbb{R}^2-\left\{ (0,0)\right\}$ tampoco lo es por el mismo motivo.

Sí, me equivoqué al escribir el nombre del concepto.

[Visitante]

Re: Campo conservativo

"Inconexo" no significa nada. Lo quSi con esta respuesta no estás convencido entonces podemos meternos en harina. Diremos que una curva $\gamma$ es simple si no tiene autointersecciones. Diremos que una región del plano $D$ es simplemente conexa si toda curva cerrada simple contenida en $D$ tiene su interior contenido en $D$.

Vale esto no lo logro entender, ¿a qué te refieres con autointersección?

Y otra duda, acabas de demostrar que el campo es conservativo por la definición que dí, pero ¿Cómo demuestras que el hecho de que la integral de línea de una curva cerrada simple sea 0 implica que existe el gradiente?

[Weip]

Re: Campo conservativo

Vale esto no lo logro entender, ¿a qué te refieres con autointersección?

Observa esta imagen. Que se autointersecta significa que se corta a sí misma. Así pues lo que escribí es que una curva es simple si no se corta a sí misma. Realmente el resultado que escribí en mi mensaje anterior también es cierto aunque la curva no sea simple, pero como ya dije, una discusión en profundidad de las hipótesis nos llevaría demasiado lejos creo yo.

Y otra duda, acabas de demostrar que el campo es conservativo por la definición que dí, pero ¿Cómo demuestras que el hecho de que la integral de línea de una curva cerrada simple sea 0 implica que existe el gradiente?

Mira este link. Ellos definen campo conservativo como aquél que obedece la propiedad de independencia de caminos así que primero mira el teorema 3 que te demuestra la equivalencia de esta propiedad con la de que la integral que di en el anterior mensaje es cero y luego ya sí mira el teorema 2, donde se prueba que la propiedad de independencia de caminos es equivalente a la del gradiente de un potencial. Juntando ambos teoremas obtienes una demostración de lo que quieres.

¡Saludos!