Secundaria Funcion L2

[Aradan]

Resolviendo el libro de D. Griffiths de Mec Cuántica me detuvo este problema (no se donde clasificarlo en el foro)
Encontrar el rango de a's para el cual $f(x)=1-x+x^2-x^3+...$ pertenece a $L_2 (-a,a)$

Si yo hago $<f|f>$ tendría que multiplicar 2 sumatorias y no se como determinar los a; tan solo llego a que
$<f|f> = \sum^{\infty}_{n,m} [(-1)^{n+m} + 1] \frac{a^{n+m+1}}{n+m+1}$

Si escribo $f=\frac{1}{1+x}$ (obviamente x distinto de (-1) ), no se como seguir.

El otro problema es demostrar que $f(x)=e^{-|x|}$ es $L_2$ o cuadrado integrable y encontrar las componentes en la base $f_{\mu} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i\lambda x}$

Lo primero es fácil de demostrar, pero lo segundo me queda
$<f_\mu |f>=a_\mu$ (aprovechando ortogonalidad de los $f_\mu$
Entonces
$a_\lambda =<f_\lambda |f>=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty} e^{-|x|} e^{i \lambda x}$

Luego separo las integrales desde menos infinito a cero y de cero a más infinito
Y despues no se como integrar prque la exponencial es compleja

[pod]

Re: Funcion L2

Resolviendo el libro de D. Griffiths de Mec Cuántica me detuvo este problema (no se donde clasificarlo en el foro)
Encontrar el rango de a's para el cual $f(x)=1-x+x^2-x^3+...$ pertenece a $L_2 (-a,a)$

Si yo hago $<f|f>$ tendría que multiplicar 2 sumatorias y no se como determinar los a; tan solo llego a que
$<f|f> = \sum^{\infty}_{n,m} [(-1)^{n+m} + 1] \frac{a^{n+m+1}}{n+m+1}$

Si

$$f(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^k\ ,$$

entonces el cuadrado

$$f(x)^2 = \sum_{k, l = 0}^\infty (-1)^{k+l} x^{k+l}\ .$$

Un truco consiste en hacer el cambio de índice (es lo equivalente al cambio de variable en integrales) $n = k + l$; entonces por ejemplo puedes substituir el sumatorio de k por el de n (de 0 a infinito). Entonces, el sumatorio de $l$ tendrá nuevos límites: como $k = n-l$, y k no puede ser negativo, entonces $l$ no puede ser mayor que n. O sea, que el sumatorio siguiente es equivalente:

$$f(x)^2 = \sum_{n=0}^\infty \sum_{l=0}^n (-1)^{n} x^{n} = \sum_{n=0}^\infty (n+1) (-1)^n x^n\ .$$

Esto debería ser bastante más sencillo de tratar para ti

Y despues no se como integrar prque la exponencial es compleja

Da igual, puedes integrar como si fuera real. En general, lo único importante para hacer la integral

$$\int_0^\infty \mathrm{e}^{- a x}\dd x \ ,$$

es que la parte real de a sea positiva, para que la integral tienda a cero en el infinito.

Si quieres matarte a hacerla por residuos, seguramente necesitarás un trayecto en forma de "quesito", pero te dará lo mismo.

[eljose]

Re: Funcion L2

La integral

$\int_{-\infty}^{\infty} dx e^{-|x|}e^{iax}$

se reduce por simetria a calcular la integral

$\int_{0}^{\infty} dx e^{-|x|}cos(ax)$

ya que si la funcion f(x) es impar entonces su integral sobre todo el espacio es 0

ahora si usas la formula de Euler para el Cos(ax) expresandolo como suma de exponenciales tu integral es casi trivial.