Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

[Weip]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

Disculpame Alriga si estoy si soy cargoso. Desde que vivía Newton sabemos que F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Y (3) dice lo contrario. ¿Con eso y todo tengo que creer que (3) dice la verdad? ¿En qué quedamos? ¿Inversamente o directamente proporcional? No intento ser impertinente. Solamente quiero poner aquí mis dudas para poder sacármelas.

Es cierto que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia pero tu fórmula no contradice eso porque la aceleración no es una constante como sí lo es $G$.

Edito: Se me adelantó Ulises7.

[tiempo libre]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

Hola Ulises7 y gracias.

Sigo tirando mis conflictos sobre la mesa. Tal vez mi error está en cómo lo pienso. Lo pienso así.

Si la masa en constante, la aceleración depende solamente de la fuerza, según la 2da ley de Newton. ¿Voy bien hasta aquí?

En (3) despejo $a^2$

$a^2=G \ \dfrac{F}{r^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

En (4) la aceleración no depende solamente de la fuerza. Entonces (4) miente. Este tipo de cosas me desconcierta.

[Weip]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

Si la masa en constante, la aceleración depende solamente de la fuerza. ¿Voy bien hasta aquí?

No, tal como ha indicado Ulises7 la aceleración depende de $r$. La fuerza también. Es decir, la segunda Ley de Newton es $F(r)=ma(r)$ y conforme vas haciendo operaciones en las ecuaciones $F$ y $a$ no cambian su dependencia en $r$.

[tiempo libre]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

Ya me siento como en la escuela, cuando la profe decía "levante la mano quien no entendió" y yo la levantaba. Si lo ven bien, prefiero volver al hilo después de esforzarme más por comprender lo que Ustedes enseñaron y que agradezco mucho.

[Ulises7]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

Hola Ulises7 y gracias.

Sigo tirando mis conflictos sobre la mesa. Tal vez mi error está en cómo lo pienso. Lo pienso así.

Si la masa en constante, la aceleración depende solamente de la fuerza, según la 2da ley de Newton. ¿Voy bien hasta aquí?

En (3) despejo $a^2$

$a^2=G \ \dfrac{F}{r^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

En (4) la aceleración no depende solamente de la fuerza. Entonces (4) miente. Este tipo de cosas me desconcierta.

La aceleración depende sólo de la fuerza sí (si la masa es constante), pero la fuerza depende a su vez de la inversa del cuadrado de la distancia (ley de gravitación universal), ambas afirmaciones no son incompatibles.

La expresión

$a^2=G \ \dfrac{F}{r^2}$

No te indica que la aceleración dependa de más cosas que la fuerza, implica que la aceleración es una función de la fuerza dividida por $r^2$, dependiendo de cómo sea la dependencia de la fuerza tendrás una aceleración u otra, pero se da el caso que conocemos esta dependencia (y de donde de hecho hemos obtenido esta expresión como resultado de manipulación algebraica) y no es más que la expresión de arriba (Ley de Gravitación), como la fuerza varía según el inverso del cuadrado de la distancia, $a^2$ varía como el inverso de la potencia cuarta de la distancia o lo que es lo mismo $a$ varía como el inverso del cuadrado de la distancia, como bien sabíamos.

[Alriga]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

... Desde que vivía Newton sabemos que F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ...

El problema es que esa frase dicha así no es correcta, puesto que es incompleta. Es correcto afirmar que la expresión de Newton

$$F = G \ \dfrac{m \ m}{r^2}$$

dice que si situamos las mismas "m" a distancias "r" diferentes, la fuerza será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, siempre que no fijemos nada más. Como además debe cumplirse la 2ª ley de Newton

$F=m \ a$

además estamos diciendo implícitamente que permitimos que la aceleración inicial no sea la misma en las dos situaciones que comparamos.

... Y (3) dice lo contrario ...

$$F = \dfrac{a^2 \ r^2}{G}$$

No, no dice lo contrario, puesto que ni es la misma expresión ni las premisas son las mismas. La expresión (3) se ha deducido de que las dos m son iguales y es:

$$F = \dfrac{a^2 \ r^2}{G}$$

En esta función matemática F es la variable que depende de 3 parámetros G, a, r. Si queremos expresar como es la dependencia de F respecto de solo 1 de las variables, eso significa que en esa expresión las otras 2 son consideradas constantes. Por eso, en la expresión (3) yo puedo decir correctamente que la Fuerza es directamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que situó 2 masas iguales, si impongo que a diferentes distancias la aceleración inicial sea la misma. Pero mira que nos dice ahora la 2ª ley de Newton: Si la distancia ha aumentado, y la fuerza ha aumentado, pero la aceleración no ha variado, como

$m=\dfrac F a$

Eso solo lo hemos podido conseguir aumentando las masas.

Resumiendo,

en (1) la fuerza es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia cuando comparamos dos situaciones en las que las masas son las mismas y las aceleraciones iniciales no.

en (3) la fuerza es proporcional al cuadrado de la distancia cuando comparamos dos situaciones en las que imponemos que las aceleraciones iniciales sean las mismas, pero permitimos que las parejas de masas sean diferentes.

Voy a poner números, trabajemos en un sistema de unidades en el que G=1 para no tener que arrastrar la constante de gravitación

$$F = \dfrac{m \ m}{r^2}$$

a) $m=2 \qquad r_1=1 \rightarrow F_1=4 \rightarrow a_1=2$

b) Doblamos la distancia $m=2 \qquad r_2=2 \rightarrow F_2=1 \rightarrow a_2=0.5$ Vemos que la fuerza se ha dividido por 4 y la aceleración se ha dividido por 4

$$F = a^2 \ r^2$$

a) $a=1 \qquad r_1=1 \rightarrow F_1=1 \rightarrow m_1=1$

b) Doblamos la distancia $a=1 \qquad r_2=2 \rightarrow F_2=4 \rightarrow m_2=4$ Vemos que la fuerza se ha multiplicado por 4 puesto que hemos tenido que poner masas 4 veces mayores.

Espero que ahora empieces a ver la luz, saludos.

[tiempo libre]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

El problema es que esa frase dicha así no es correcta ...

Alriga, muchas gracias, de muchas maneras.

[tiempo libre]

Re: Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

Quiero aclarar algo, por la dudas que iniciar el hilo con las letras cambiadas haya causado molestias. Hubo un motivo para hacerlo. No fue un capricho. Digo cómo fue.

El post inicial del hilo pregunta si hay algo malo en la condición agregada. Cambié las letras a propósito, porque esa condición agregada, traducida a las letras de física, es masa inercial=masa gravitatoria. Si pongo de entrada las letras de física, la costumbre hace que uno no se detenga a pensar en esa condición. En cambio, con las letras cambiadas, uno puede decir ¡epa!, ¿es coherente esa condición con el sistema de 2 ecuaciones? Me interesaba que al menos pasásemos por la pregunta, pero cuando puse las letras de física, se hizo imposible que la pregunta surgiera. Entonces perdí la oportunidad de ampliar el punto específico que me llevó a consultar.

Igualmente el hilo estuvo interesante, con muchas cosas para agradecer. Eso vale tanto como analizar la pregunta específica.