Divulgación Consulta sobre anchura de una campana de Gauss

[inakigarber]

Buenas tardes;

Repasando algunos capítulos del libro de mecánica cuántica del Cohen, me he encontardo con una serie de cuestiones que pasé por alto en su día y que no entiendo cuando dice;

"At time t=0, the probability density of the particle is therefore given by"
que yo entiendo como;

[FONT=arial]

"Para un tiempo t=0, la densidad de probabilidad viene dada por"

$$|\Psi_{(x,0)}|^2=\sqrt{ \dfrac{ 2}{ \pi a^2}}e^{(-2x^2 /a^2)}$$

Biren, no entiendo bien el porque de esta Gaussiana y porque su amplitud es [FONT=arial]$\sqrt{ \dfrac{ 2}{ \pi a^2}}$.

¿Como puedo entenderlo?

Saludos y gracias.[/FONT]

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[Alriga]

Re: Consulta sobre anchura de una campana de Gauss

[FONT=arial]

"Para un tiempo t=0, la densidad de probabilidad viene dada por"

$$|\Psi_{(x,0)}|^2=\sqrt{ \dfrac{ 2}{ \pi a^2}}e^{(-2x^2 /a^2)}$$

Bien, no entiendo ... porque su amplitud es [FONT=arial]$\sqrt{ \dfrac{ 2}{ \pi a^2}}$.[/FONT]

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[FONT=Verdana]
Observa que la respuesta es sencilla. La función es un producto, en el que uno de los factores es

$\dst f(x)=e^{-k x^2}$ en donde $k=(2/a^2) > 0$

Cuando $x \to - \infty \Rightarrow f \to 0$

Al hacerse menos negativa la función crece y tiene el máximo en x=0 en donde vale f(0)=1

Al hacerse x positiva la función vuelve a decrecer y c[/FONT][FONT=Verdana]uando $x \to + \infty \Rightarrow f \to 0$

[/FONT][FONT=Verdana]

El otro factor es la constante [/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [FONT=Verdana]

Por lo tanto la amplitud máxima de

[/FONT]

$$|\Psi_{(x,0)}|^2=\sqrt{ \dfrac{ 2}{ \pi a^2}}e^{(-2x^2 /a^2)}$$

[FONT=Verdana]será [/FONT][FONT=Verdana]$\sqrt{ \dfrac{2}{ \pi a^2}} \cdot 1=$[/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[FONT=Verdana]amplitud que se da en x=0

[/FONT]

... Repasando algunos capítulos del libro de mecánica cuántica del Cohen, me he encontrado con una serie de cuestiones que pasé por alto en su día y que no entiendo cuando dice;


"At time t=0, the probability density of the particle is therefore given by"
que yo entiendo como;
"Para un tiempo t=0, la densidad de probabilidad viene dada por"

$$|\Psi_{(x,0)}|^2=\sqrt{ \dfrac{ 2}{ \pi a^2}}e^{(-2x^2 /a^2)}$$

Bien, no entiendo bien el porqué de esta Gaussiana ...

Esta pregunta no te la puedo contestar, puesto que no tengo el Cohen y no sé el contexto. A ver si te responde algún compañero que tenga ese libro.
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Saludos.[/FONT]

[inakigarber]

Re: Consulta sobre anchura de una campana de Gauss

Gracias por tu respuesta, creo que voy aclarando algunas cuestiones, pero aún me quedan dudas.
Partiendo de la expresión$|\Psi_{(x,0)}|^2f_{(x)}=\sqrt{ \dfrac{ 2}{ \pi a^2}}e^{(-2x^2 /a^2)}$, he decidido obtener la transformada de Fourier de dicha función cuyo resultado me da

$$p_{(k)}=\dfrac{e^{\left(\dfrac{-\alpha^2 k^2}{8}\right)}}{\pi \sqrt{2}}$$

, para poderlas graficar ambas he debido expresarlas ambas en función de una misma variable, (x).

La función inicial $f_{(x)}$ aparece en verde y la transformada de Fourier en beige. Bien, obtengo que la función inicial tiene una amplitud variable (y su integral definida entre $\infty$ y $-\infty$ da un valor fijo, la transformada no. Por otra parte, si varío la anchura de la función inicial (con el parámetro $\alpha$), varío inversamente la anchura de la función final. Hasta aquí creo que lo entiendo todo correctamente.
Donde empiezo a perderme es cuando Cohen dice en su libro de la conveniencia de definir el ancho de una función gaussiana del tipo $e^{-x^2/b^2}$ como $\Delta_x=\dfrac{b}{\sqrt{2}}$. Segun Cohen esta elección es arbitraria, ¿Qué pasaría entonces si eligiera otro valor de anchura de la función? (por ejemplo $A/33$, en lugar de $A/\sqrt{e}$ como se indica) En todo caso siempre será constante el producto de ambas anchuras.

Para calcular el ancho de cada uno de las funciones, he obtenido el valor máximo A (que en este caso está centrado en el origen), he establecido un punto sobre el eje x cuya altura sea $A/\sqrt{e}$, trazo un segmento perpendicular al eje Y que una dicho punto con la gaussiana correspondiente. El producto de ambos anchos me da 1, como puede verse, sin embargo según debiera darme 1/2, con lo que probablemente he debido equivocarme.

Saludos y gracias.