Divulgación Serie divergente

[AlexFeynman]

Buenas, tenía la siguiente duda.

Si consideramos la serie $1 + a + a^2 + a^3 + ...$ cuando $a\geqslant1$ y la dividimos en $S1 = 1 + a^2 + a^4 + ...$ y $S2 = a + a^3 + a^5 + ...$, se puede reescribir $S1$ como $S1 = 1 + a(a + a^3 + a^5 + ...) = 1 + aS2$ y de la misma manera, $S2 = a(1 + a^2 + a^4 + ....) = aS1$. Ahora queda el sistema:

$S1 = 1 + aS2$ (1)
$S2 = aS1$ (2)

Sustituyendo (2) en (1) queda $S1 = 1 + {a}^{2 }S1$, por lo tanto, $S1 = \frac{1}{1 - a^2 }$ y $S2 = \frac{a}{1 - a^2 }$.

Todo esto lleva a que la serie $1 + a + a^2 + a^3 + ...$ converge a $\frac{1}{1 - a}$. ¿Es esto cierto?

Gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Re: Serie divergente

Hola AlexFeynman es un bonito quebradero de cabezas, pero creo que he visto donde la deducción falla

llamemos $S=1 + a + a^2 + a^3 + ...$

si $S_1 = 1 + a^2 + a^4 + ...=\dst\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^n a^{2n}$

y $S_2 = a + a^3 + a^5 + ...=\dst\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^n a^{2n+1}$

de modo que $S=S_1+S_2$

si defines

si divides $S_2$ por $a$

$\dfrac{S_2} a=\dst\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^n \dfrac{a^{2n+1}}a=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^n a^{2n}=S_1$

luego $S_2 = aS_1$

pero cuando haces

$S_1 = 1 + a(a + a^3 + a^5 + ...) = 1 + a\left( \lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=1}^n a^{2n-1}\right)$$\neq 1 + a\left( \lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^n a^{2n+1}\right)=1+aS_2$

allí es donde deviene el problema hay uno o varios contables menos en la sumatoria, y la diferencia es $\lim\limits_{n\to \infty}a^{2n+1}-a^{2n-1}=\dfrac{a^2-1}a\lim\limits_{n\to \infty}a^{2n}=\infty$ luego lo puede serie una ser convergente... Creo que los matemáticos mas rigurosos que postean en el foro, nos lo pueden aclarar mejor...

Hace tiempo dedique una entrada de blog a temas como este , para hallar respuesta a temas como los que has sugerido https://forum.lawebdefisica.com/entr...ries-infinitas
Solo lo hice para satisfacer curiosidad personal, y poco creo que se aprende...

[Weip]

Re: Serie divergente

Todo esto lleva a que la serie $1 + a + a^2 + a^3 + ...$ converge a $\frac{1}{1 - a}$. ¿Es esto cierto?

No, no es cierto. La serie sigue divergiendo. Manipulaciones tales como "truquillos" sacando factor común, cambiando de orden los factores o usando distintas operaciones aritméticas con las series solo son posibles si las series son absolutamente covergentes, es decir, si la serie de valores absolutes converge. En caso contrario, se llegan a respuestas incorrectas. Un ejemplo muy simple es un caso particular de tu serie. Si consideras $a=2$ entonces tu serie es $S=1+2+4+8+...$ y con tu fórmula se obtiene $S=-1$. ¿Cómo es posible que la suma de números positivos de un número negativo? El problema es la hipótesis: Como la serie no converge entonces tampoco es absolutamente convergente, así que esa clase de manipulaciones no están permitidas. De hecho, ¡es posible hacer manipulaciones para que la serie converga al número que queramos!

Otra historia muy distinta y con cierto ruido en internet es el dar sentido a estas series divergentes mediante distintas definiciones de sumación y regularización. En el link al blog que te ha pasado Richard al fondo de todo puse un vídeo que lo explica a la perfección en base al ya famoso $1+2+3+...=-1/12$ y la regularización Zeta de Riemann que juega un papel en algunos cálculos en física, vuelvo a ponerlo por aquí porque es maravilloso: https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw.

[AlexFeynman]

Re: Serie divergente

Entonces, cuando $0<a<1$ sí que funciona. Por ejemplo, $1 + \frac{1}{ a} + \frac{1}{ a^2} + ... = \frac{1}{ 1 - 1/a} = \frac{a}{ a-1}$. ¿Esto es porque la sucesión $\frac{1}{ a^n}$ converge a 0?

[Weip]

Re: Serie divergente

Entonces, cuando $0<a<1$ sí que funciona.

Sí, porque entonces la serie es absolutamente convergente.

Por ejemplo, $1 + \frac{1}{ a} + \frac{1}{ a^2} + ... = \frac{1}{ 1 - 1/a} = \frac{a}{ a-1}$. ¿Esto es porque la sucesión $\frac{1}{ a^n}$ converge a 0?

Fundamentalmente sí. Por elaborar un poco más, esto viene de que la sucesión de sumas parciales tiene límite. Esto es, si tienes una serie $b_0+b_1+b_2+...$ entonces la serie converge si la sucesión $\left\{ b_0, b_0+b_1, b_0+b_1+b_2,...\right\}$ tiene límite. Y de aquí sale que una serie geométrica $a+ar+ar^2+ar^3+...$ converge si (y solo si) $|r|<1$.