1r ciclo Derivada total y parcial

[Niaar]

Buenas a todos!

Tengo una duda: ¿cuándo se usa el signo de derivada total $\dd$, y el de derivada parcial $\partial$?

Sé que cuando la función es de una sola variable, la única manera de decurivad es usando la $\dd$ y cuando la función es de más de una variable, lo normal es usar las parciales. Sin embargo, cuando me las mezclan en clase (veáse ecuaciones de Euler-Lagrange) me hago un lío. ¿La derivada total solo se usa para el tiempo y la parcial para la función $L(x,x',v)$?

Muchas gracias,
Niaar

[inakigarber]

Re: Derivada total y parcial

Buenas tardes;

No se si esto te podrá ayudar, porque no soy un experto en el tema.
Por ejemplo, si tengo una ecuación de onda del tipo;

$$\frac{\partial^2 U_{(x,t)}}{\partial t^2 }=c^2 \frac{\partial ^2 U_{(x,t)}}{\partial x^2 }$$

.

Bien, tengo una variable $U_{(x,t)}$ que depende del espacio y del tiempo. En el primer término tengo la segunda derivada respecto al tiempo, se trataría de derivar como si el espacio fuera constante y el segundo término, al revés, tengo la derivada de dicha función respecto al espacio, se trataría de derivar respecto al espacio tratando al tiempo como una constante.

No se si esto te aclara algo tus dudas, quedo a la espera a ver si alguien con más conocimiento que yo nos saca de dudas.

Saludos.

[Niaar]

Re: Derivada total y parcial

Gracias por responder, inakigarber!

Lo que estas diciendo tú es cómo funciona la derivada parcial, y eso lo entiendo. El caso es que si tienes una función $L(q(t),\dot{q}(t),t)$, las ecuaciones de Lagrange (por ejemplo) se escriben de la forma $\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$.

Supongo (hipótesi mía) que cuando derivas respecto al tiempo tienes que derivar tambien $q(t)$ y $\dot{q}(t)$ implícitamente (porque dependen de $t$) y cuando derivas respecto $q$ y $\dot{q}$, haces como dices tú, suponiendo las demas variables como constantes. Pero no estoy seguro.

Además que tampoco sé por qué una derivada es total y las otras dos son parciales....

Gracias

[angel relativamente]

Re: Derivada total y parcial

Supongo (hipótesi mía) que cuando derivas respecto al tiempo tienes que derivar tambien $q(t)$ y $\dot{q}(t)$ implícitamente (porque dependen de $t$) y cuando derivas respecto $q$ y $\dot{q}$, haces como dices tú, suponiendo las demas variables como constantes. Pero no estoy seguro.

Gracias

Efectivamente, cuando haces la derivada total de una función con respecto a una variable, esta variable no tiene por que ser ni tan siquiera una de las variables en las que está definida tu función. En tu ejemplo, el lagrangiano podría no depender explicitamente del tiempo y estaría bien definida la derivada total respecto al tiempo (no así la parcial), pues las posiciones y los momentos dependen del tiempo.
En general, si $f(x,y,z)$ es una función de 3 variables (ídem si tuviese más) y esas variables dependen de otra variable $t$, se define la derivada total de $f$ con respecto a $t$ como

$$\dfrac{\dd f}{\dd t} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\dd x}{\dd t}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\dd y}{\dd t}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{\dd z}{\dd t}$$

donde obviamente $\dfrac{\dd x}{\dd t}$ es una derivada de 1 variable.

En tu ejemplo, $f$ es el lagrangiano y $x(t)=q(t), \; y(t)=\dot q (t), \; z(t)=t$.

Saludos,