Divulgación Funciones que pasan por un punto

[AlexFeynman]

Buenas tardes.

Ayer hice la visita a la universidad y durante la guía por el departamento de topología, las guías dijeron que la tipología eran cosas como todas las funciones que pasan por un punto (aunque más tarde uno de los profesores de topología nos dio una mejor explicación de lo que era). Y mi duda sale a partir de lo que dijo la guía. ¿El conjunto de las funciones que, por ejemplo, tienen la forma $ax^2 + b$ y pasan por el punto $(u, v)$ tiene algún nombre?

Gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Funciones que pasan por un punto

... ¿El conjunto de las funciones que, por ejemplo, tienen la forma $ax^2 + b$ y pasan por el punto $(u, v)$ tiene algún nombre? ...

Al conjunto de las funciones que pasan por el punto y tienen alguna característica en común se le llama "haz" Por ejemplo el conjunto de rectas que pasan por el punto (u, v) se le llama "haz de rectas que pasa por (u, v)"

Como $y=ax^2 +b$ es una parábola, al conjunto de funciones de expresión $y=ax^2 +b$ que pasan por el punto $(u, \ v)$ se le llama "haz de parábolas que pasa por $(u, \ v)$"

... más tarde uno de los profesores de topología nos dio una mejor explicación de lo que era ...

La Topología es la rama de las Matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos n-dimensionales que no se alteran cuando el cuerpo se deforma de forma continua, (es decir, cuando lo deformamos "sin romperlo" y sin "pegar" una parte con otra)

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Funciones que pasan por un punto

Desde luego la definición de las guías no fue muy afortunada. A lo mejor, más que en funciones que pasan por un punto, estaban pensando en el concepto de homotopía entre aplicaciones continuas, que es una rama muy importante de la topología.
Por complementar, todo y que la definición de Alriga es seguramente la más precisa, a mi me gusta más definir la topología como aquella rama de las matemáticas que estudia los cuerpos geométricos "desnudos". Como sabes, los cuerpos geométricos cambian de forma ("de traje") en función del espacio donde estén. Por ejemplo, no es lo mismo una recta del plano que una recta del espacio. En el clásico ejemplo divulgativo que se da de que en topología es lo mismo una taza que un donut, a veces cuesta de entender qué es lo que tienen de parecido. Sin embargo, si te los pongo al lado y te pido que encuentres 7 diferencias, todas las que me dirás dependerán del atuendo que han elegido para estar presentables en el espacio: que si uno tiene un punto aquí y el otro allá, que si uno tiene una parametrización y el otro otra distinta, que si aquí el vector tangente vale tanto. Es decir, todo propiedades relativas al espacio donde las estás viendo. Una vez vuelven a casa y se desnudan, vuelven a ser la misma cosa.

Saludos,

[Weip]

Re: Funciones que pasan por un punto

Las aportaciones que habéis hecho ya son buenas pero aquí dejo lo que es la topología con una gif (la topología sin dibujos no es topología):https://commons.wikimedia.org/wiki/F...orus_morph.gif

Poniendome titismiquis dejadme comentar una cosilla que ya sabéis pero quiero decirla para AlexFeynman:

La Topología es la rama de las Matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos n-dimensionales que no se alteran cuando el cuerpo se deforma de forma continua, (es decir, cuando lo deformamos "sin romperlo" y sin "pegar" una parte con otra)

Por complementar, todo y que la definición de Alriga es seguramente la más precisa, a mi me gusta más definir la topología como aquella rama de las matemáticas que estudia los cuerpos geométricos "desnudos".

Lo de "cuerpos geométricos" me suena mal. La topología a priori no trabaja con estructuras geométricas. De hecho uno de las cuestiones centrales que surgen en topología general es la de si un espacio topológico admite una distancia o no. Por supuesto, si la estructura geométrica está ahí entonces la topología y la geometría se hablan dando como resultado teoremas muy chulos, pero no creo que el término "cuerpos geométricos" deba ser empleado para explicar de qué trata la topología. Lo de cuerpos geométricos desnudos aún lo compro si es en el sentido de cuerpos geométricos sin geometría, pero al menos quería hacer la aclaración. Esto es algo hipertécnico pero qué le voy a hacer, soy un purista de estas cosas.

Ahora, por explicar un poco más mi punto de vista, el problema central en topología es el de, dados dos espacios, ver si uno se puede deformar en otro o no. Es decir, queremos ver bajo qué condiciones estos espacios son equivalentes en el sentido de las deformaciones que estamos explicando. Para ello se intenta buscar propiedades comunes en ambos espacios que sean invariantes por las deformaciones: buscamos el número de agujeros, vemos si el espacio es de una sola pieza o no, si es compacto... A veces tenemos éxito al intentar resolver este problema y a veces no. Cuando pasa lo segundo lo suyo es aflojar las condiciones que se ponen en la deformación para simplificar el problema y entonces surgen nociones más débiles de deformación, como la de homotopía que decía angelrelativamente.

No sé si con esto debo haber aclarado algo pero si resulta muy abstracto siempre queda el gif del donut y la taza.

Espero haberte ayudado AlexFeynman.

[AlexFeynman]

Re: Funciones que pasan por un punto

Se me crea la siguiente duda. ¿Qué se entiende por espacio?

[Weip]

Re: Funciones que pasan por un punto

Se me crea la siguiente duda. ¿Qué se entiende por espacio?

Cuando hablo de espacio me refiero a espacio topológico. No creo que entrar en detalles sirva de algo pero por dar un vistazo a vista de pájaro, se trata de un conjunto de puntos equipado con una topología, que vendría a ser una lista de conjuntos llamados abiertos, que satisfacen ciertas propiedades abstractas. Vienen a generalizar, en cierto sentido, lo que vemos en $\mathbb{R}$ con los intervalos abiertos. Ejemplos de espacios toplógicos hay todo lo que te puedas imaginar y lo que no también: la recta real, los complejos, esfera de cualquier dimensión, banda de Möbius, cilindros, toros, espacios hiperbólico y proyectivo, curvas, superfícies, variedades (topológicas) en general... y muchos otros objetos que no tienen ningún tipo de estructura geométrica.

[Alriga]

Re: Funciones que pasan por un punto

Se me crea la siguiente duda. ¿Qué se entiende por espacio?

Space (mathematics)

Espacios en Matemáticas

Saludos.

[AlexFeynman]

Re: Funciones que pasan por un punto

Entonces si se transforma un elipsoide en una esfera con una función continua, y el elipsoide y la esfera son conexos, ¿El hecho de ser conexo sería un invariante bajo esa transformación?

[Weip]

Re: Funciones que pasan por un punto

Entonces si se transforma un elipsoide en una esfera con una función continua, y el elipsoide y la esfera son conexos, ¿El hecho de ser conexo sería un invariante bajo esa transformación?

No, déjame que entremos en detalle: La conexidad es invariante por homeomorfismos, esto es, por aplicaciones (funciones) contínuas, biyectivas y con inversa contínua. Éstas son las "deformaciones" de las que hemos hablado a lo largo del hilo. Así pues si tu tienes un espacio topológico $X$ conexo que es homeomorfo a otro espacio topológico $Y$ entonces $Y$ es conexo. Lo mismo pasa con la compacidad, arcoconexión, propiedades de separación, axiomas de numerabilidad, metrizabilidad... Es por ello que todas estas propiedades son topológicas. En realidad en el caso de la conexidad solo haría falta que la aplicación fuera contínua y exhaustiva, pero bueno, a la práctica lo que tienes normalmente son homeomorfismos. Como comentario, fíjate que estamos considerando como espacios topológicos objetos muy generales y muy distintos a los reales. Aquí la noción de continuidad es una versión generalizada de lo que pasa con las funciones reales.

[Jaime Rudas]

Re: Funciones que pasan por un punto

Así pues si tu tienes un espacio topológico $X$ conexo que es homeomorfo a otro espacio topológico $Y$ entonces $Y$ es conexo. Lo mismo pasa con la compacidad, arcoconexión, propiedades de separación, axiomas de numerabilidad, metrizabilidad... Es por ello que todas estas propiedades son topológicas.

Según recuerdo, no todo espacio topológico es metrizable; ¿no implicaría esto que la metrizabilidad no es una propiedad topológica?

[Weip]

Re: Funciones que pasan por un punto

Según recuerdo, no todo espacio topológico es metrizable; ¿no implicaría esto que la metrizabilidad no es una propiedad topológica?

No, para nada. Existen espacios topológicos que no son metrizables, que no son conexos, que no son compactos, que no son Hausdorff... Y a pesar de ello la metrizabilidad, la conexión, la compacidad... son propiedades topológicas. Cuando decimos que $P$ es una propiedad topológica lo que queremos decir es que $P$ es invariante por homeomorfismos. Esto es, si $X$ e $Y$ son espacios topológicos homeomorfos y $X$ tiene/satisface la propiedad $P$ entonces $Y$ también tiene/satisface la propiedad $P$. Así pues lo que implica esto es que por ejemplo si $X$ e $Y$ son homeomorfos y $X$ no es metrizable entonces $Y$ tampoco lo es. Esto sucede justamente porque la metrizabilidad es una propiedad topológica.

[AlexFeynman]

Re: Funciones que pasan por un punto

Vale ya entiendo. Gracias por las respuestas.

[Jaime Rudas]

Re: Funciones que pasan por un punto

Cuando decimos que $P$ es una propiedad topológica lo que queremos decir es que $P$ es invariante por homeomorfismos. Esto es, si $X$ e $Y$ son espacios topológicos homeomorfos y $X$ tiene/satisface la propiedad $P$ entonces $Y$ también tiene/satisface la propiedad $P$.

Ah, ya entiendo.
Gracias.