Otras carreras ¿Libros para iniciarme en las matemáticas de universidad?

[VictorHM99]

Buenas tardes a todos.

Desde que tenía 8 años siempre he querido ser matemático, por amor hacia ellas y esa sensación agradable y, a la vez, escalofriante que siento cada vez que aprendo algo nuevo sobre ellas.
Cada método y razonamiento añaden en mi "yo" una nueva perspectiva y forma de razonamiento, no solo para resolver problemas, también para ser mi guía en mi vida.

Tengo casi 20 años y he estado 2 años en ingeniería informática (No pude entrar a matemáticas por una subida de nota de corte abismal) y, por fin he podido entrar ahora con todas las asignaturas relacionadas con las matemáticas ( Física, álgebra y matemática discreta, cálculo, estadística, lógica) aprobadas.

Aun así, he de decir que en cuanto a razonamiento tales asignaturas dadas en la ingeniería se me han quedado cortas, pues muchas de ellas eran asignaturas con ejercicios muy repetitivos.


Ahora, me gustaría una ayuda a este nuevo forero.

Me gustaría que ustedes me recomendaran aquellos libros que recomendarían para empezar la carrera de matemáticas. Por ejemplo : Contenido básico de topología, análisis matemático, geometría, etc. De tal forma que este verano pueda estudiar tranquilamente, con calma y disfrutando con cada conocimiento nuevo estando menos pendiente de los exámenes.


Muchísimas gracias, saludos desde España y que tengan una buena pero no tan calurosa tarde.

[Weip]

Re: ¿Libros para iniciarme en las matemáticas de universidad?

Hola VictorHM99, bienvenido al foro. Voy a hacer algunas recomendaciones de libros y como verás más abajo no me miro demasiado el tema del idioma. Algunos tienen versión en castellano pero otros no, al menos quería avisarlo, aunque contra más abierto seas con el idioma más acceso tendrás a buenas referencias.

Me gustaría que ustedes me recomendaran aquellos libros que recomendarían para empezar la carrera de matemáticas. Por ejemplo : Contenido básico de topología, análisis matemático, geometría, etc. De tal forma que este verano pueda estudiar tranquilamente, con calma y disfrutando con cada conocimiento nuevo estando menos pendiente de los exámenes.

Para empezar, aunque hayas dado cálculo diferencial e integral y álgebra lineal en ingeniería informática, sería bueno que mirases algún libro enfocado a las matemáticas, con el enfoque riguroso que carateriza esta rama de la ciencia. Quizás el contenido puede resultarte repetitivo pero es muy recomendable empezar por aquí antes de saltar a cosas como topología o análisis. Una aventura por esos lares podría acabar demostivandote si no te has acostumbrado antes a la formalidad y el rigor. Qué mejor sitio que empezar por ramas que ya conoces. De aquí yo no puedo recomendarte libros porque en su día no usaba en estas asignaturas. Aún así comentar que compañeros míos usaban Àlgebra lineal i geometria, de Manuel Castellet e Irene Llarena.

Si aún así quieres algo más abstracto y nuevo para ti entonces de topología general te puedo hablar de algunos libros:

-Topology de James R. Munkress. Este libro es ideal para empezar, contiene un preliminar de teoría de conjuntos y lógica con los conceptos más básicos que no sólo te servirán para estudiar este libro, sino todos los libros de matemáticas que encuentres, pues todos ellos darán por supuesto el material que encontrarás en este primer capítulo. Sobre el resto contiene todo lo que necesitas saber de topología general. En mi opinión los capítulos que tratan del teorema de Tychonoff y los espacios de Baire los puedes omitir, pero como tu quieras. Este libro también contiene varios capítulos de topología algebraica (grupo fundamental en adelante), quizás ver todo esto en verano puede resultar muy arduo, yo de ti lo dejaría para más adelante, sobretodo porque para este apartado prefiero otra referencia que comentaré más abajo. Además algunos capítulos como el dedicado al teorema de Seifert-van Kampen puede ser muy difícil ahora mismo puesto que hay que saber teoría de grupos.

-Topology de James Dugunji. Al igual que el anterior el capítulo de preliminares en valuoso ahora que vas a empezar más en serio con las matemáticas pero la distinción con el libro de Munkress es que contiene un capítulo más de teoría de conjuntos. También se dedica a cosas algo más avanzadas de la topología general como la convergencia y los espacios de funciones. Además contiene cosas de topología algebraica (homotopía) pero estos temas a mi no me gustan como están enfocados aquí y hay un libro mejor para esta parte.

-Algebraic Topology de Allen Hatcher. Para mí, la Bíblia de la topología algebraica. Como he dicho antes quizás este verano no quieres entrar aquí pero por si acaso yo lo recomiendo mucho. Si quieres estudiarlo mírate sólo el capítulo 1. Los demás capítulos son más avanzados, y aunque no requieren demasiados preliminares de otras ramas de las matemáticas, quizás sería mejor estudiar otras cosas para coger madurez matemática porque aquí el nivel de abstracción es muy grande. Es un libro con muchos dibujos, explicaciones muy intuitivas, sin lugar a dudas uno de los mejores libros de topología que he visto. Además el autor lo puso gratis en su página web personal.

-La Topología de segundo no es tan difícil de Fernando Chamizo. Esto realmente no es un libro pero son unas notas que corren por ahí, muy recomendables pues tienen lo que viene siendo un primer curso de topología general (y un poco de algebraica) explicada de forma espectacular, muchos dibujos también y siendo formal y riguroso, te habla con mucha proximidad.

Bueno quizás le he dedicado demasiado tiempo a la topología pero en mi opinión cosas como análisis matemático lo dejaría para más adelante pues requiere conocimientos de topología general y se suele dejar para niveles algo más avanzados. Como he dicho antes si quieres algo de ésta rama entonces lo mejor sería repasar el cálculo diferencial e integral de forma rigurosa. También si te quieres mirar la parte calculística de resolver ecuaciones diferenciales quizás te aproveche más. De geometría tampoco diré mucho porque geometría afín lo puedes encontrar en libros de álgebra lineal muchas veces pues tienen una gran relación. Aunque no se da en muchas universidades de geometría proyectiva a mí me gusta el siguiente libro de un profesor mío:

-Analytic Projective Geometry, de Eduardo Casas-Alvero. Este libro lo comento más que nada porque de geometría proyectiva a mí me costó muchos encontrar referencias, de hecho ésta fue la única que me convenció y que pude aprovechar. Si quieres ver geometría proyectiva ésta es la mejor opción en mi opinión aunque los últimos capítulos referentes a la geometría métrica no los hice en clase y como consecuencia no los trabajé en este libro. Aún así seguro que está igual de bien que el resto.

Sobre geometría diferencial podrías empezar por curvas y superfícies si quieres pero como veas, no es una materia demasiado básica y no te la encontrarás en otras ramas pero a veces se da en segundo de carrera y más o menos es del nivel de las materias que estamos comentando. Así que si quieres ver más geometría dejo aquí una recomendación:

-Differential Geometry of Curves and Surfaces, de Manfredo do Carmo. El clásico de la materia. Es la mejor introducción a la geometría diferencial que hay. Contiene todo lo que necesitas saber de este tema y más. Requiere pocos preliminares, con lo que sabes de cálculo y álgebra lineal lo podrías entender bien. Quizás requeriría una pizca de geometría afín, pero nada que no sepas ya me parece. Si acaso repásate bien el producto escalar en espacios vectoriales puesto que en la parte de superfícies encontrarás generalizaciones que exigirán que recuerdes ésta operación.

Aunque la geometría diferencial es una de mis grandes pasiones no diré más porque hay algunas materias básicas que también sería bueno que les echaras el ojo. Aquí me refiero a la teoría de números:

-Elementary Number Theory and Its Applications, de Kenneth H. Rosen. La verdad es que en su día disfruté mucho de la aritmética gracias a éste libro. Es muy autocontenido, a penas necesitas nada para empezar a estudiarlo. Contiene un capítulo de criptografía, muy interesante si quieres conocer las aplicaciones de la teoría de números a la vida real.

Me gustaría poder recomendarte más libros de aritmética pero la verdad es que los otros que usé en su día no me gustaron tanto y no los aproveché la verdad.

Como conclusión, todo lo que he puesto es mucho trabajo para un sólo verano. Yo lo que te aconsejo es lo que he dicho en el primer párrafo, para empezar en esto de las matemáticas lo mejor sería repasar áreas familiares como el cálculo y el álgebra lineal, ahora con los ojos de matemático, pero si esto te aburre porque es de primero de carrera o ya lo has asimilado bien entonces pasar a topología o a la geometría son buenas opciones. Más o menos lo que te he ido recomendando es todo de segundo de carrera, la excepción quizás es el Hatcher, que es más avanzado y solo es recomendable si pasas todo el verano con la topología, y el libro de teoría de números, que es de nivel de primero. Los demás les puedes hincar el diente directamente sin problemas. Si quieres algún itinerario de ramas yo creo que las más fundamentales son el cálculo diferencial e integral, álgebra lineal, artimética y luego continúa con geometría afín, topología y teoría de grupos. Con esto tendrás lo básico cubierto y ya podrás abordar temas más avanzados como el análisis real y complejo, teoría de Galois, geometría diferencial (variedades de Riemann)... O lo que quieras.

Espero haberte ayudado.

[VictorHM99]

Re: ¿Libros para iniciarme en las matemáticas de universidad?

Muchísimas gracias, me está ayudando muchísimo.
Por mucho que me apasionen las matemáticas siempre tengo ese "miedo" a no saber por donde empezar y desorientarme un poco.
Haré lo que usted me dice, estudiaré otra vez Algebra lineal, matemática discreta, estadística, cálculo diferencial e integral...

Para que se haga una idea de lo que he aprendido estos 2 años, lo que he dado en cálculo sobre todo es :
-Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1º y 2º orden
-Análisis de gráficos (Como en el curso antes de la universidad : maximos, minimos...)
-trapecios, Simpson
-Problemas de induccion
-Figuras cortadas por un plano (ultimo tema)

El algebra lineal y matemática discreta dimos teoría básica sobre conjuntos, ecuaciones diofánticas, Teorema del resto chinoy grafos.

Estadística pues lo que se da en todas las universidades: Estimadores de maxima verosimilitud, varianza y demas, funciones de densidad, Laplace...

El único problema es que al estudiar tales asignaturas con el material de ingeniería veo que le dan menos valor en lo referente a la abstraccion y le dan mas importancia al cálculo rápido con razonamientos cortos.

Ahora estoy buscando por internet libros de tales asignaturas para ver si encuentro un contenido mas enfocado a mi carrera.

PD: Muchisimas gracias por su ayuda. Pondré mi carne y mi hueso en el asador para conseguir mi sueño en la vida. Cuando lo consiga vendré a este foro y lo primero que haré será darle las gracias por su ayuda.