Secundaria [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

[Skunk]

Es una duda que tengo hace bastante tiempo. Si Pi es la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de la misma, cómo consiguieron calcularlo, siendo la fórmula para calcular la longitud 2π*r?

No veo posible calcular π teniendo que usar π para calcularlo, vamos.

¿Alguien me puede explicar cómo lo descubrieron entonces?

P.D: La pregunta puede parecer tonta (o no) pero es una duda que tengo xD... como véis no es que tenga unos conocimientos matemáticos extremos jeje.

Un saludo.

[pod]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

Pues la forma más sencillita es coger una cuerda de longitud conocida, disponerla en forma circular, medir el diámetro que forma, y simplemente dividir.

La forma en que lo hicieron los antiguos egipcios fué comparando áreas. Observaron que la cantidad de material necesaria para construir un círculo de radio r era el mismo que era necesario para crear un cuadrado de lado $16 r / 9$, es decir

$$\pi r^2 = (16 r/9)^2 \ ,$$

de donde

$$\pi = ( 16/9)^2 \approx 3.16049\ .$$

No es una mala aproximación.

Arquímedes hizo otra aproximación dibujando un polígono regular inscrito en la circunferencia. Claramente, el área del circulo era mayor que la del polígono inscrito, eso te da una cota inferior. Luego se imaginaba un polígono identico pero circunscrito, en vez de inscrito; esto de da una cota superior. Incrementando el número de lados, puedes mejorar las cotas. Según la wikipedia, el tío llegó a trabajar hasta con polígonos de 96 lados. Un chino lo llegó a mejorar utilizando un polígono de 3072 lados, ¡uf!

Otra forma un poco más moderna es utilizar sumas de series o bien funciones que dan como resultado $\pi$, por ejemplo la del arcotangente,

$$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\ x^{2n+1}\ ,$$

y como sabes, $\arcsin (1/\sqrt{3}) = \pi/6$, por lo que

$$\pi = 6 \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\ .$$

Basta con hacer esa suma infinita. Añadiendo cada vez más términos mejoras la precisión, por ejemplo cogiendo 5 términos da 3.1413 (cuatro zifras correctas), los 10 primeros términos dan 3.1415933 (6 zifras significativas correctas); con 1000 términos da 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 (todos estos dígitos son correctos, el primer error viene con el siguiente).

Y de hecho, hay formas de calcularlo mucho más eficientes. Por eso somos capaces de conocer varios millones de dígitos del número pi.

Claro, todo esto con ordenadores es mucho más fácil. Sin ir más lejos, el primer ordenador de la historia, el Eniac, ya fue capaz de obtener 2037 cifras exactas. No está mal, aunque palidece comparados con los 1.351.100.000.000 que en 2004 consiguió Hitachi.

Bueno, ha habido muchos métodos más a lo largo de la historia... pero eso se lo dejo ya a un experto en la materia

[Skunk]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

Pues la forma más sencillita es coger una cuerda de longitud conocida, disponerla en forma circular, medir el diámetro que forma, y simplemente dividir.

La forma en que lo hicieron los antiguos egipcios fué comparando áreas. Observaron que la cantidad de material necesaria para construir un círculo de radio r era el mismo que era necesario para crear un cuadrado de lado $16 r / 9$, es decir

$$\pi r^2 = (16 r/9)^2 \ ,$$

de donde

$$\pi = ( 16/9)^2 \approx 3.16049\ .$$

No es una mala aproximación.

Arquímedes hizo otra aproximación dibujando un polígono regular inscrito en la circunferencia. Claramente, el área del circulo era mayor que la del polígono inscrito, eso te da una cota inferior. Luego se imaginaba un polígono identico pero circunscrito, en vez de inscrito; esto de da una cota superior. Incrementando el número de lados, puedes mejorar las cotas. Según la wikipedia, el tío llegó a trabajar hasta con polígonos de 96 lados. Un chino lo llegó a mejorar utilizando un polígono de 3072 lados, ¡uf!

Otra forma un poco más moderna es utilizar sumas de series o bien funciones que dan como resultado $\pi$, por ejemplo la del arcotangente,

$$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\ x^{2n+1}\ ,$$

y como sabes, $\arcsin (1/\sqrt{3}) = \pi/6$, por lo que

$$\pi = 6 \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\ .$$

Basta con hacer esa suma infinita. Añadiendo cada vez más términos mejoras la precisión, por ejemplo cogiendo 5 términos da 3.1413 (cuatro zifras correctas), los 10 primeros términos dan 3.1415933 (6 zifras significativas correctas); con 1000 términos da 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 (todos estos dígitos son correctos, el primer error viene con el siguiente).

Y de hecho, hay formas de calcularlo mucho más eficientes. Por eso somos capaces de conocer varios millones de dígitos del número pi.

Claro, todo esto con ordenadores es mucho más fácil. Sin ir más lejos, el primer ordenador de la historia, el Eniac, ya fue capaz de obtener 2037 cifras exactas. No está mal, aunque palidece comparados con los 1.351.100.000.000 que en 2004 consiguió Hitachi.

Bueno, ha habido muchos métodos más a lo largo de la historia... pero eso se lo dejo ya a un experto en la materia

¡Hey! Muchísimas gracias! He encontrado una aceptable aproximación de pi:

24.25310001011 / 7.72


que da:
3.14159327

[_FoX_]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

21,991148575128552669238503682957/7 xD

y la tuya deberia parecerse más a esto:

24,253095285713203800931606918918/7.72

[Skunk]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

21,991148575128552669238503682957/7 xD

y la tuya deberia parecerse más a esto:

24,253095285713203800931606918918/7.72

¡Vaya! Me impresiona

Una cosa más, si no es mucha molestia... si sólo pueden hacerse aproximaciones aproximadamente aproximadas (xD) a Pi... cómo lo hace el ordenador ése para calcular tantos millones de números de pi correctos?

[pod]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

¡Vaya! Me impresiona

Una cosa más, si no es mucha molestia... si sólo pueden hacerse aproximaciones aproximadamente aproximadas (xD) a Pi... cómo lo hace el ordenador ése para calcular tantos millones de números de pi correctos?

Sumando más términos de una serie más buena que la que puse yo.

[_FoX_]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

Un límite que calculé con un amigo en 3° ESO,

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Eichs]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

Hola.

¿No será que el límite es $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)=\pi$?

Saludos.

[_FoX_]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

Hola.

¿No será que el límite es $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)=\pi$?

Saludos.

¿No es lo mismo que puse yo pero en radianes (yo elegí sexagesimal para los ángulos, es más bonito )?

Si es por eso,

$2\arcsin{1}=\pi$

[[Beto]]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

¿No es lo mismo que puse yo pero en radianes (yo elegí sexagesimal para los ángulos, es más bonito )?

Si es que eran sexagesimales de falto el "º", en todo caso no se debe de usar grados sexagesimales si no radianes, no es bueno que tengas malos gustos

[_FoX_]

Re: [Curiosidad] ¿Cómo se calculó pi?

Si es que eran sexagesimales de falto el "º", en todo caso no se debe de usar grados sexagesimales si no radianes, no es bueno que tengas malos gustos

Mis gustos son los estándart de las calculadoras, ninguna viene en radianes por defecto

Además es feo usar el número pi, para calcular pi xD