Otras carreras Volumen máximo de un cilindro

[gesan]

[FONT=Times New Roman]Hola a todos:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Necesito por favor ayuda con el siguiente ejercicio.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Suponga que la superficie de la base y el lado curvo de una lata de refresco (cilíndrica) tienen el mismo grueso. Pero la tapa debe ser tres veces más gruesa que la base. Demuestre que, entre todas las latas de refresco hechas con una cantidad de material total fija, la que tiene el volumen máximo tiene altura de dos veces el diámetro.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Resolví el problema: $V=r^2*\pi*h$ con $(r+t)^2*\pi*(h+4t)-r^2*\pi*h=M$,[/FONT]
[FONT=Times New Roman]M=volumen del material fijo, t=grueso lata, V=volumen interior, r=radio interior, h=altura interior[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Despejando h de la segunda ecuación, $V(r)=\displaystyle\frac{Mr^2-4*\pi*r^2t(r+t)^2}{t(2r+t)}$.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Derivando $V(r)$ , y simplificando, obtengo la ecuación de cuarto grado en r: [/FONT]

[FONT=Times New Roman]$12\pi*t*r^4+24\pi*t^2*r^3+(16\pi*t^3-M)r^2+(4\pi*t^4-Mt)r=0$.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Con $r=0$, queda una ecuación cúbica que admite solución de$r=-t$. De ahí es fácil encontrar la solución de la ecuación cuadrática resultante.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]¿Existe algún método paso por paso para resolver la ecuación cúbica que no sea el de simple inspección (evitando una situación fortuita como el de sustituir r=-t)?[/FONT]
[FONT=Times New Roman]¿Qué significado físico tiene $r=-t$?[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Muchas gracias.[/FONT]

[pod]

Re: Volumen máximo de un cilindro

Hay una fórmula que permite resolver ecuaciones cúbicas similar a la que hay para ecuaciones de segundo grado. Aunque es mucho más larga, enrevesada y complicada. Puedes encontrarla en cualquier libro. Por ejemplo, está en el shaum de tablas.

[[Beto]]

Re: Volumen máximo de un cilindro

Hola, también puedes revisar acá:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%...e_tercer_grado

[gesan]

Re: Volumen máximo de un cilindro

Gracias pod, gracias N30F3B0.

Utilicé la fórmula de la solución de la ecuación cúbica y logré dar con la respuesta, aunque con varias dificultades en el camino.

Saludos.