1r ciclo Series de Fourier

[Macbereth]

El ejercicio es de una taea, en la cual me piden evaluar la serie de Fourier de $[-\pi ,\pi]$ de $f(x)=e^{-ax}$
con $a=0, +-i, +-2i, +-3i...$
El erjerciio ya lo resolvi por dos métodos el clásico, de obtener los coefcientes de Fourier y por identidad de Euler,pero la duda radica que al evaluar la serie en $x=\pi$ la serie se me anula y se hace cero lo cual segun mi ayudante de la materia no deberia de pasar, bueno pondre la serie que yo obtuve ahber si alguien me puede hechar la mano por q a lo mejor tuve un error que no he visto.
Por identidad de Euler:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty C_{-n}e^{-inx}+\sum_{n=0}^\infty C_{n}e^{inx}$
donde $C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{{-\pi}}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx$
Al resoler $C_n=0 y C_{-n}=1$
Si ese es el caso obtengo que la serie de Fourier
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-inx}=\sum_{n=0}^{\infty}cos(nx)-isen(nx)$
con $x=\pi$ , entonces
$f(\pi)= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$
la cual segun yo es siempre cero por la cardinalidad de los pares con los impares

[pod]

Re: Series de Fourier

Esa suma no es absolutamente convergente, por lo tanto se puede reordenar para que dé cualquier resultado que uno quiera.

Por ejemplo, te voy a demostrar que puede dar cero. Por cada +1, hay un -1, se cancelan y da cero.

Pero también puedo demostrar que da infinito. Como los números enteros son infinitos, yo puedo perfectamente tomar una ordenación donde tome primero dos números pares, y después sólo uno impar. Al final, los acabaré recorriendo todos igualmente, ¿verdad? Así que la serie daría +1+1-1 = 1. Y como hay infinitos de estos términos, da infinito.

Te puede parecer que la primera ordenación es "más natural", pero en realidad eso es un prejuicio. Las dos son legítimas. Sólo las sumas absolutamente convergentes están bien definidas.

[eljose]

Re: Series de Fourier

Umm y sumarla en el sentido de 'Suma de Cesaro' Pod ??

me refiero a que tu tienes la suma

$f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}exp(inx)$

las sumas parciales de esta serie me dan $S(n,x)=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}$ o lo que es lo mismo

$S(n,x)=e^{-inx}\frac{Sen((n+1)x/2)}{sen(x/2)}$

la suma parcial a medida que 'n' crece parece tender a $f(x)=\delta(x/2)2xcosec(x/2)$

[pod]

Re: Series de Fourier

Umm y sumarla en el sentido de 'Suma de Cesaro' Pod ??

me refiero a que tu tienes la suma

$f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}exp(inx)$

las sumas parciales de esta serie me dan $S(n,x)=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}$ o lo que es lo mismo

$S(n,x)=e^{-inx}\frac{Sen((n+1)x/2)}{sen(x/2)}$

la suma parcial a medida que 'n' crece parece tender a $f(x)=\delta(x/2)2xcosec(x/2)$

Pues supongo que sí, ya que en el fondo es la serie que pones tú es la misma con $x = \pi$. Pero no creo que haga falta entrar en "regularizaciones" a este nivel.

[Macbereth]

Re: Series de Fourier

El ejercicio es de una taea, en la cual me piden evaluar la serie de Fourier de $[-\pi ,\pi]$ de $f(x)=e^{-ax}$
con $a=0, +-i, +-2i, +-3i...$
El erjerciio ya lo resolvi por dos métodos el clásico, de obtener los coefcientes de Fourier y por identidad de Euler,pero la duda radica que al evaluar la serie en $x=\pi$ la serie se me anula y se hace cero lo cual segun mi ayudante de la materia no deberia de pasar, bueno pondre la serie que yo obtuve ahber si alguien me puede hechar la mano por q a lo mejor tuve un error que no he visto.
Por identidad de Euler:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty C_{-n}e^{-inx}+\sum_{n=0}^\infty C_{n}e^{inx}$
donde $C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{{-\pi}}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx$
Al resoler $C_n=0 y C_{-n}=1$
Si ese es el caso obtengo que la serie de Fourier
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-inx}=\sum_{n=0}^{\infty}cos(nx)-isen(nx)$
con $x=\pi$ , entonces
$f(\pi)= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$
la cual segun yo es siempre cero por la cardinalidad de los pares con los impares

Bueno ya logre resolver el problema y queria compartirlo, revise algunos libros de diferenciales parciales q tienen apendices sobre series de Fourier y encontre un ejercicio similar, en donde descubri cual fue el error, parece ser que utilize una n que no debia de repetirse al hacer la suma, entonces la serie de Fourier queda como:
$f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}e^{-i(m-+n)x}$
Al evaluar la serie en pi se obtiene $\sum_{m=1}^{\infty}(-1)\delta_{mn}=(-1)\delta_{mn}$
P.D alguien sabe como poner el -+ en lenguaje de TEX?

[Metaleer]

Re: Series de Fourier

P.D alguien sabe como poner el -+ en lenguaje de TEX?

Prueba con:

\pm