1r ciclo ¿Error de enunciado?

[Hardy el paradojico]

Hola tengo un problema que dice lo siguiente:

demostrar $\nabla \times \vec{A}= \vec {0}$ si:

$\vec{A}= (\frac{k}{\rho}). \hat {a_\phi}$ en cilindricas donde k es una constante, ( $\nabla \times \vec {A} \not= 0$ para $\rho=0$
yo lo que hice fue :
$\nabla \times \vec{A}= \frac{1}{\rho} [\frac{\partial k}{\partial \rho}\hat{a_z}-\frac{\partial k}{\partial \rho} \hat{a_\rho}]$ y para que esto sea distinto de cero se tiene que dar que $\frac{1}{\rho}\not=0$ y $[\frac{\partial k}{\partial \rho}\hat{a_z}-\frac{\partial k}{\partial \rho} \hat{a_\rho}]$ $\not=0$

lo que pasa es que la segunda condición es cero cada derivada parcial y la primera también es cero y la supone cómo cierta! , alguna idea? gracias y un saludo

[pod]

Re: ¿Error de enunciado?

Tienes que aplicar el rotacional en coordenadas cilíndricas,

$$\vec\nabla \times \vec A = \frac{1}{\rho}<br /> \left|\begin{array}{ccc}<br /> \hat a_\rho & \rho \hat a_\phi & \hat a_z \\<br /> \partial_\rho & \partial_\phi & \partial_z \\<br /> A_\rho & \rho A_\phi & A_z<br /> \end{array}\right| .<br />$$

En tu caso, sólo tienes $A_\phi$, que además es independiente de z, por lo que sólo te queda

$$\vec\nabla \times \vec A = \frac1\rho \hat a_z \ \partial_\rho \left( \rho\ \frac{k}{\rho} \right) .$$

Si $\rho \neq 0$, entonces está claro que las podemos cancelar dentro del paréntesis, y la derivada nos da cero. Después, dividimos entre $\rho$, que como no es cero no hay problema

Cuando $\rho = 0$ es donde vienen los problemas. La derivada sigue siendo cero, pero ahora va dividida por cero. Y todos sabemos que cuando nos sale 0/0, tenemos una indeterminación. Y cuando tenemos una indeterminación, necesitamos una técnica más avanzada para hacer el cálculo bien. Resulta que en este caso, lo que nos da (algo proporcional a) una delta de Dirac, $\delta^2(\rho)$ (si uno piensa la delta como una función, en efecto es cero fuera del origen; y diferente de cero en él).

Por tu notación, imagino que esto lo estás viendo en electromagnetismo. Es un ejemplo muy importante, ya que se corresponde al campo magnético de un hilo infinito. En magnetostática, uno tiene el teorema de Ampere local,

$$\vec\nabla \times \vec B = \mu \vec j.$$

El hilo está según ele eje OZ, con una intensidad I. El vector de corriente, $\vec j$, por lo tanto sólo puede ser cero cuando $x = y = 0$, ya que el hilo es infinitamente fino. La forma de poner eso matemáticamente es precisamente con la delta de Dirac,

$$\vec j = I \delta(x) \delta(y) = I \delta^2(\rho) .$$

Fíjate que la delta siempre tiene las unidades inversas a su argumento, así que las unidades de esta expresión es de amperios por metro cuadrado, justo las unidades necesarias para el vector de corriente.

Sabemos que el campo magnético creado por un hilo (es muy sencillo sacarlo usando el teorema de Ampere integral) es

$$\vec B = \frac{\mu I}{2\pi \rho}\ \hat a_\phi .$$

Si te fijas, es la misma función que tú estás considerando (normal, sino fuera así no te metería todo el rollo). Físicamente, sabemos que este campo se crea precisamente cuando hay corriente en el eje OZ, que es lo que nos dice el teorema de Ampere local.

[Hardy el paradojico]

Re: ¿Error de enunciado?

me ha servido de mucho Muchas gracias Pod! , si lo estoy viendo en electromagnetismo

pd. en la primera igualdad que pusiste la derivada parcial respecto del angulo es multiplicada por ${\rho}$ ?

[pod]

Re: ¿Error de enunciado?

pd. en la primera igualdad que pusiste la derivada parcial respecto del angulo es multiplicada por ${\rho}$ ?

• pod mira para otro lado y silva.

[Hardy el paradojico]

Re: ¿Error de enunciado?

jeje