2o ciclo Distribuciones (Duda)

[fisiko88]

Hola a todos!!

Estoy estudiando el tema de distribuciones y no consigo ver bien su utilidad debido a una duda particular que me ha surgido. Las distribuciones son funcionales lineales definidos sobre un espacio de funciones, que para el caso de distribuciones temperadas es el de Schwartz (el cual es bastante pequeño). Esto hace que su dual sea muy grande y que por tanto haya "mogollón xD" de distribuciones.

Mi duda viene ,de que estas distribuciones están definidas sobre funciones que viven en un espacio muy pequeño (el de Schwartz) pero estas son muy pocas funciones. Pero en Física, en nuestro Hilbert las funciones con las que trabajamos son L2 (mucho más grande que el esp. de Schwartz), por lo que trabajar sobre un esp. de funciones tan pequeño no nos limitaría mucho??

Se que debo errar en este razonamiento pero no veo por qué. Una ayuda??

Gracias por adelantado!!!

[pod]

Re: Distribuciones (Duda)

La utilidad es que podemos pasar de funciones a distribuciones de una forma muy fácil. En general, a partir de cualquier función f, yo puedo definir una distribución asociada $T_f$, tal que

$$\big< T_f , \phi \Big> = \int \!\dd x\ f(x) \phi(x) ,$$

donde $\phi(x)$ es una función test (del espacio de Schwartz como tú lo llamas). Puedes comprobar que, con tal que f cumpla unas condiciones básicas, $T_f$ cumple todos los axiomas que definen una distribución.

Fíjate que lo contrario no es cierto. Dada una distribución, no siempre puedo encontrar una función tal que se cumpla la relación anterior. Un ejemplo es la distribución delta de Dirac. No obstante, esta forma de definir definir "una función" delta, que matemáticamente no existe, pero que podemos tratar formalmente (es decir, a partir de las propiedades de la distribución, que sí existe).

En resumidas cuentas, lo que te confundía es que las funciones de onda del espacio de Hilbert no son las funciones test, sino que son las ditribuciones (que las hay a mogollón, sic).

[fisiko88]

Re: Distribuciones (Duda)

Gracias Pod por la contestación. Esa era la confusión que tenía. De todas formas podría alguno darme alguna referencia de algún libro donde se vea el paso de funciones a distribuciones en Mec. Cuántica, que aparezca de forma bien explicada pero a un nivel asequible.

P.D: No me recomendeis el Galindo-Pascual xD.

Un saludo y gracias!

[pod]

Re: Distribuciones (Duda)

Yo no se de ningún texto específico para MC. De todas formas, se hace como te dije de forma resumida.

[fisiko88]

Re: Distribuciones (Duda)

Lo que pasa es que me ha quedado una duda. Las distribuciones son las que pasan a a ser las "funciones de onda" del sistema, y las funciones test que es lo que representan físicamente.

Vamos porque si las distribuciones las hemos cambiado por las funciones L2, las funciones prueba de dónde aparecen??

Un saludo y gracias!!

[pod]

Re: Distribuciones (Duda)

Lo que pasa es que me ha quedado una duda. Las distribuciones son las que pasan a a ser las "funciones de onda" del sistema, y las funciones test que es lo que representan físicamente.

Vamos porque si las distribuciones las hemos cambiado por las funciones L2, las funciones prueba de dónde aparecen??

Un saludo y gracias!!

Las funciones test no representan nada. Es el dominio en que está definida la aplicación, por que matemáticamente necesitas un dominio.

Es algo similar a la definición de los tensores; uno los define como una aplicación entre varias copias cartesianas del espacio vectorial y el dual; pero después la forma de la aplicación no nos interesa demasiado, con las componentes es más que suficiente.