1r ciclo teorema del valor medio para integrales

[MIMOSA]

hola espero me puedan ayudar con esto. tenemos una funcion que va de un subconjunto de R2 a R el caul es un rectangulo y este es conevxo, por lo cual es cmpacto, tambien tenemos que f es continua en el subconjunto, y hay que demostrar que la integral de f es igual a (xo)area A, con xo en A.
me ayudaria saber como resoolverlo, por su ayuda gracias.

[SO3]

Re: teorema del valor medio para integrales

Por compacidad de $R$ existen $a,b \in R$ con $f(a)=min( {f(x,y): (x,y)\in R} )$ y $f(b)=max({f(x,y) : (x,y)\in R})$. Pongamos $g:I \mapsto \mathbb R, g(t)=f(a(1-t)+tb)$. $g$ es continua, alcanza el minimo y el maximo de $f$ y se tiene que

$$f(a)=g(0) \le \frac{\int_R \!\!f \d dm}{m(R)} \le g(1)= f(b)$$

sin mas que tener en cuenta la monotonia de la integral. Se concluye por el teorema del valor medio para funciones de variable real.

Obviamente, teniendo en cuenta cuestiones basicas de topologia general , en particular que la imagen por una funcion continua de un conexo compacto es el intervalo cerrado de extremos el maximo y el minimo se sigue el resultado sin tener que hacer el artificio de tomar el segmento que une los puntos a y b.

[pod]

Re: teorema del valor medio para integrales

Por compacidad de $R$ existen $a,b \in R$ con $f(a)=min( {f(x,y): (x,y)\in R} )$ y $f(b)=max({f(x,y) : (x,y)\in R})$.

¿a y b no tendrían que pertenecer a $\mathbb{R}^2$?

[MIMOSA]

Re: teorema del valor medio para integrales

gracias, tienes razon, es que no sabia como resolover el rpoblema ya que estamos en dos variables pero aplicando tal funcion esto se corrige y podemos aplicar el teoremita.
gracias¡¡¡¡¡¡¡¡¡

[SO3]

Re: teorema del valor medio para integrales

Quiza la notacion de lugar a error por no introducirla previamente; en el post previo,$R$ denota el rectangulo y $\mathbb R$ el cuerpo de los numeros reales.