Otras carreras ejercicio máximo

[Elias]

Hallar los puntos de la curva de intersección de las dos superficies $x^2 - xy + y^2 - z^2=1$ y $x^2 + y^2=1$ que estan más próximo al origen

[[Beto]]

Re: ejercicio máximo

Usa multiplicadores de Lagrange, tendrías que la función a minimizar sería $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1+z^2$, sujeto a la siguiente restricción $z^2+xy=0$ ... o algo similar

[pod]

Re: ejercicio máximo

Usa multiplicadores de Lagrange, tendrías que la función a minimizar sería $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1+z^2$, sujeto a la siguiente restricción $z^2+xy=0$ ... o algo similar

La forma seguramente más general de hacerlo (que está bien aprender, porque en otro ejemplo no siempre será tan fácil substituir como has hecho) es introducir dos multiplicadores de Lagrange, la función completa a minimizar será

$$F = x^2 + y^2 + z^2 - \lambda (x^2 - x y + y^2 - z^2 -1) - \mu (x^2 + y^2-1) .$$

[Elias]

Re: ejercicio máximo

Hola si, es como dices

luego de calcular las parciales ,el problema que tengo ahora es el sistema, por favor ayuda soy malisimo en sacar cuentas
$2x= \lambda_1(2x - y) + \lambda_2(2x)$
$2y=-\lambda_1(x) + \lambda_2(2y)$
$2z=-\lambda_1(2z)$
$x^2 - xy - z^2 - 1=0$
$x^2 + y^2 - 1=0$
De 3 obtenemos $\lambda_1=-1$

[electr0n]

Re: ejercicio máximo

Hola.

Hace tiempo que no resuelvo este tipo de problemas, pero creo que podría hacerse también del siguiente modo.

La segunda superficie es un cilindro de radio 1, que se puede expresar como:

$<br /> s(t,z)=(sent,cost,z)<br />$

Por otro lado, la curva que nos piden debe verificar que $x^2+y^2=1$, de manera que en la primera debe cumplirse:

$<br /> 1-xy-z^2=1<br />$

$z=\pm\sqrt{-xy}$

Entonces, la curva de intersección en forma paramétrica sería así:

$<br /> r(t)=(sent,cost,\pm\sqrt{-sent\cdot cost})<br />$

y la distancia entre cualquier punto de dicha curva y el origen es:

$<br /> d(r,0)=L(t)=\sqrt{(sent-0)^2+(cost-0)^2+(\pm\sqrt{-sent\cdot cost}-0)^2}=\sqrt{1+sent\cdot cost}<br />$

Esta función tiene dos máximos en $t=\pi/4$ y $t=5\pi/4$, y dos mínimos en $t=3\pi/4$ y $t=7\pi/4$. Por tanto la distancia se hace mínima para estos dos últimos valores de t y tiene el valor $L=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Así pues, los dos puntos buscados serán:

$\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$<br /> \displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)<br />$

A ver si alguien lo resuelve con los multiplicadores y nos sale lo mismo

Adjunto una imagen del aspecto que tiene la otra superficie (siento no haber sabido dibujarla junto al cilindro):

Saludos!

[Elias]

Re: ejercicio máximo

Gracias pod y electron pero me piden es por multiplicadores de Lagrange, el problema que tengo es ese sistema de ecuaciones lo demas lo se hacer si me ayudan les agradezco mucho

Saludos

[pod]

Re: ejercicio máximo

$2y=-\lambda_1(x) + \lambda_2(2y)$

Diría que te has dejado un término $2 \lambda_1 y$.

[Elias]

Re: ejercicio máximo

hola pod no comprendo que me quieres decir

Saludos

[pod]

Re: ejercicio máximo

hola pod no comprendo que me quieres decir

Saludos

Que la ecuación correcta que sale al derivar respecto y, si no me equivoco, es

$$2y = \lambda_1 (2y-x) + \lambda_2 2y .$$

Te dejaste un término (si es que no me he equivocado).

[Elias]

Re: ejercicio máximo

Es cierto revisare las cuentas

Saludos

[pod]

Re: ejercicio máximo

¿El problema es que no sabes resolver el sistema de ecuaciones?