Igualdad

[[Beto]]

Hola, he estado tratando de comprobar la siguiente igualdad:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i} =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx$

Quizás sea evidente pero no me he dado cuenta del detalle

[pod]

Re: Igualdad

Hola, he estado tratando de comprobar la siguiente igualdad:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i} =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx$

Quizás sea evidente pero no me he dado cuenta del detalle

En el mathematica, ambas expresiones dan $\ln 2$, si eso te sirve como comprobación

De hecho, no es más que la definición de integral,

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1} \frac{1}{n} \frac1{1+i/n}\ ,$

está claro que lo que hemos hecho es partir el intervalo $x\in[0,1]$ en n segmentos, donde $x = i/n$. En realidad, este límite es lo que se llama "integral superior", ya que cogemos la parte superior del a función en cada intervalo. La integral inferior debería es

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n+i}\ .$

Ambos límites deben dar lo mismo para que la integral, como tal, exista.

[[Beto]]

Re: Igualdad

De hecho, no es más que la definición de integral,

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1} \frac{1}{n} \frac1{1+i/n}\ ,$

Gracias, de hecho si había llegado hasta acá pero no me di cuenta que eso era la definición de integral .

[K!!]

Re: Igualdad

Esto es en efecto una Suma de Riemann.