1r ciclo Límites indeterminados

[Julián]

Dada una funcion f(x)= (sqrt(x)-2 ) / (x-4)


En el intervalo abierto de (0,10), de 10 por tirar un numero, exite f(x) y la funcion es continua en ese intervalo.
Pero cuando x tiende a 4 da una ideterminacion del tipo 0/0. Pero ¿por qué existe la funcion en ese punto, siendo que f(4)=0/0? ¿¿Por que se salva esa ideterminacion, manipulando algebraicamente esa exprecion hasta llegar a un resultado determinado?

Queda una expresion equivalente no cierto? pero ¿por que da otro resultado entonces?

[arreldepi]

Re: limites indetermados

Hola, la función es continua en ese punto porque si aplicas el teorema de l'Hôpital:

$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt x-2}{x-4} \quad\stackrel{\mathrm{L'Hop.}}{=}\quad\lim_{x\to 4}\frac{\frac{1}{2\sqrt x}-0}{1-0} = \frac{1}{4}$$

Saludos!

[[Beto]]

Re: limites indetermados

Hola, una posibilidad sin necesidad de usar L'Hospital sería asi:

$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt x-2}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)} =\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt x+2}$$

[pod]

Re: limites indetermados

Si queremos ser rigurosos, debemos decir que esa función no es continua en x = 4, ya que f(4) no existe. Tiene lo que llamamos una discontinuidad evitable.

Que sea evitable, significa que uno puede conseguir que la función sea continua simplemente cambiando su definición en el punto. Así pues, podemos definir una nueva función g(x) tal que f(x) = g(x) excepto para x = 4, y que además es continua:

$$g(x) =<br /> \left\{<br /> \begin{array}{ccl}<br /> \dfrac{\sqrt x - 2}{x-4} & \text{si \ } & x \neq 4 \\<br /> \dfrac14 & \text{si \ } & x = 4 \end{array}\right\}<br /> =\frac{1}{\sqrt x + 2}$$

Esta función coincide con f(x) allá donde es posible, y además es continua en x = 4. Pero, rigurosamente hablando, no es idéntica a f(x). Por eso decimos que la discontinuidad era evitable, porque haciendo un pequeño cambio la hemos evitado.

Muchas veces, sobre todo en Física, damos por supuesto que todas las discontinuidades evitables se evitan de esa forma, y así nos ahorramos tener que definir una segunda función. Cuestión de practicidad. Pero es importante saber que, en realidad, usamos una versión modificada de la función.

[ser humano]

Re: limites indetermados

Queda una expresion equivalente no cierto? pero ¿por que da otro resultado entonces?

Como ya explico pod, la funcion es otra, que difiere unicamente en determinar un valor para $f(4)$. Es equivalente en el sentido del limite, ya que en éste solo te importa el entorno reducido de 4 (en este caso) y ambas funciones coinciden en dicho entorno (ya que, insisto , solo difieren en f(4) )

[Julián]

Re: limites indetermados

entonces, es otra funcion [g(x)], que coincide en todos los puntos con f(x), salvo en x=4. Pero el limite es el mismo, ya que lo que importa es lo que sucede alrededor de dicho valor, sin importar lo que pase en x=4.

[Julián]

Re: limites indetermados

ah entonces me salio otra duda, dada una funcion polinomica p(x) cualesquiera, al factoriarla, yo pensaba que se obtenia otra ecuacion, funcion idéntica, pero veo que no siempre es asi, por lo que lei pueden diferir en un punto.

?¿?¿?

[ser humano]

Re: limites indetermados

entonces, es otra funcion [g(x)], que coincide en todos los puntos con f(x), salvo en x=4. Pero el limite es el mismo, ya que lo que importa es lo que sucede alrededor de dicho valor, sin importar lo que pase en x=4.

Exactamente.

ah entonces me salio otra duda, dada una funcion polinomica p(x) cualesquiera, al factoriarla, yo pensaba que se obtenia otra ecuacion, funcion idéntica, pero veo que no siempre es asi, por lo que lei pueden diferir en un punto.

?¿?¿?

Si vos tenes una funcion que es un polinomio, al factorizarla tenes la misma funcion. Pero fijate que en tu ejemplo la primera funcion no es un polinomio.

Saludos

[Julián]

Re: limites indetermados

Por que no es un polinomio por la raiz o por que es un cociente de polinomios??
En todo caso un polinomio es una suma algebraica cuyas variables pueden o no estar elevadas a alguna potencia? Si tenemos un cociente entre polinomios, funcion racional fraccionario o homografica, en este caso tenemos la indeterminaciones?

[Al2000]

Re: limites indetermados

ah entonces me salio otra duda, dada una funcion polinomica p(x) cualesquiera, al factoriarla, yo pensaba que se obtenia otra ecuacion, funcion idéntica, pero veo que no siempre es asi, por lo que lei pueden diferir en un punto.

?¿?¿?

Si por factorizar quieres decir expresar como factores, la función que obtienes es la misma. Pero en este caso no solamente estás factorizando, sino que estás cancelando factores comunes. Cuando tu simplificas el factor común $\sqrt x - 2$, la operación que estás realizando es dividir tanto el numerador como el divisor entre el factor común. Pero cuando $x = 4$, el factor común vale cero y la división por cero no está definida.

Esta es la fuente común de la que han bebido innumerable curiosos que han demostrado que 1 = 2 o algo similar.

Saludos,

Al

[ser humano]

Re: limites indetermados

Por que no es un polinomio por la raiz o por que es un cociente de polinomios??

Por el formato que tiene, porque es un cociente, es decir que tenes un factor elevado a la -1, y para que sea un polinomio, la variable tiene que pertenecer a los naturales o ser cero.

Si tenemos un cociente entre polinomios, funcion racional fraccionario o homografica, en este caso tenemos la indeterminaciones?

Cuando tenes un polinomio, no hay indeterminaciones, y en las funciones racionales tenes la limitacion de que el denominador no puede ser cero, y por lo tanto el dominio está restringido.

Saludos

[Julián]

Re: limites indetermados

ah gracias gente