1r ciclo Variacion de una funcion y recta tangente

[Julián]

La derivada es una funcion que al evaluarla en un punto c, nos da la pendiente (la variacion) de una recta tangente en dicho punto "c". Que solo tiene en comun con la funcion dicho punto.

Pero mi duda en particular es ¿que tiene que ver esa recta con la variacion de la funcion?

no se si estare en lo cierto pero yo entiendo que
Dada una funcion f(x) y su derivada f '(x). La recta tangente a un punto "c" de la funcion tiene pendiente f '(c). Y entonces a medida que la funcion se acerque por la derecha y por la izquierda al punto "c", la funcion f(x) tenderá (se acercara) a la recta tangente. ??

Y esto nos da la idea del cambio de la funcion a medida que va cambiando el incremento en x. Si el diferencial de la funcion es menor que el incremento de la funcion, la funcion crece muy rapido. si el diferencial de la funcion es mayor que el incremento de la funcion, la funcion crece lentamente. A la vez si la pendiente es positiva la funcion crece y si la pendiente es negativa la funcion decrece

[ser humano]

Re: Variacion de una funcion y recta tangente

Hola

Y entonces a medida que la funcion se acerque por la derecha y por la izquierda al punto "c", la funcion f(x) tenderá (se acercara) a la recta tangente. ??

No. Como bien dijiste lo que te indica la derivada es la pendiente de la recta tangente a ese punto. De acuerdo a como sea la variacion de esta pendiente, será la "forma" que tome la funcion que se analiza (porque hay una correlacion evidente entre el "comportamiento" de la funcion y la variacion de las pendientes de las rectas tangentes en los diferentes puntos). Por ejemplo, es evidente (de forma grafica) que cuando las pendientes de la recta sean positivas, la funcion en ese intervalo será creciente, y si son negativas será decreciente. Otro ejemplo serían los puntos criticos; cuando hay un maximo o minimo local, o un punto de inflexion, la pendiente de la recta tangente es cero.

He leido que tambien se puede definir a la derivada en un punto como la pendiente de la funcion lineal que contiene como segmento a la rectificacion de dicho punto y de su entorno reducido.
A mi me parece preferible esta definicion por el hecho de que es notablemente coherente con la imposibilidad de derivar si la curva no es "suave" o si la rectificacion mencionada no es funcion, por ejemplo.

Saludos

[Julián]

Re: Variacion de una funcion y recta tangente

A mi me parece preferible esta definicion por el hecho de que es notablemente coherente con la imposibilidad de derivar si la curva no es "suave" o si la rectificacion mencionada no es funcion, por ejemplo.

Que quieres decir con la imposibilidad de derivar si la cuerva no es suave?

[Julián]

Re: Variacion de una funcion y recta tangente

pero lo que yo quiero saber es por ejemplo. tengo un mobil que se desplaza una cantidad de espacio tanto como el cuadrado del tiempo e(t)=t^2. La funcion derivada de esa funcion es e'(t)=2t. al evaluarla en un punto "c"me da la pendiente de una recta e '(c) que es tangente a ese punto, o sea que tiene en comun con la funcion ese espacio "e" y es la velocidad instantanea. Entonces me determina la variacion de espacio sobre tiempo (velocidad) de la funcion recta tangente, porque en otro punto muy cercano a "c", no mejor digamos distinto de "c", hay otra recta tangente que tiene otra pendiente, variacion. Por lo tanto la velocidad instantanea es una "supuesta variacion" de cambio de espacio sobre tiempo, ya que otro instante "t=p" de la funcion e(t), dicha imagen e(p) no se encuentra en la recta tangente al punto "c".

no se si se entiende mi duda, pero razonando diria que la velocidad instantanea, es decir la razon de cambio del espacio sobre el tiempo, no es la derivada sino la funcion derivada, que muestra como cambia la funcion de un punto al otro.
La funcion derivada pienso, si es la razon de cambio de la funcion. Si la derivada de una funcion es una constante entonces la funcion siempre tiene la misma pendiente, si no es una constante hay una variacion de la pendiente, vendria a ser como la variacion de la variacion, jeje

[pod]

Re: Variacion de una funcion y recta tangente

No te comas tanto la olla Es mucho más sencillo que todo eso.

Imagínate que tienes una curva cualquiera y quieres describirla matemáticamente. Lo más sencillo sería aproximar esa curva por una sucesión de segmentos rectos. Cada segmento tendrá una inclinación diferente; en consecuencia, la curva tiene pendientes diferentes en diferentes regiones, ¿verdad?

Pero si eso segmentos son demasiado largos, la aproximación será muy mala. Lo ideal es que fueran tan pequeños como fuera posible (y por eso, la derivada se define formalmente como un límite). El concepto de recta tangente no es más que la prolongación de esos segmentos minúsculos.

Está claro que la pendiente de esos segmentos va cambiando si la función es curva. No hay nada de raro en ello. La derivada es una función que te da el valor de la pendiente en cada punto, y por lo dicho, su valor puede ser diferente en diferentes valores. Y como función, tú puedes derivarla: la derivada de la derivada (que es lo que normalmente llamamos segunda derivada) sí que es la variación de la variación.

Hablando en términos físicos es muy fácil entenderlo: la velocidad es la derivada de la posición (i.e, el ritmo al que cambia la posición a lo largo del tiempo). La aceleración es la derivada de la velocidad (i.e, el ritmo al que cambia la velocidad a lo largo del tiempo), y por lo tanto, es la segunda derivada de la posición.

[Julián]

Re: Variacion de una funcion y recta tangente

Imagínate que tienes una curva cualquiera y quieres describirla matemáticamente. Lo más sencillo sería aproximar esa curva por una sucesión de segmentos rectos. Cada segmento tendrá una inclinación diferente; en consecuencia, la curva tiene pendientes diferentes en diferentes regiones, ¿verdad?

Pero si eso segmentos son demasiado largos, la aproximación será muy mala. Lo ideal es que fueran tan pequeños como fuera posible

El concepto de recta tangente no es más que la prolongación de esos segmentos minúsculos.

claro, en si no es muy dificil el concepto, no se por que me hacia la cabeza. Grax ser humano y pod (siempre espero tu respuesta jeje)

[ser humano]

Re: Variacion de una funcion y recta tangente

Tal vez ya no resulte útil, pero de todas formas te lo respondo:

Que quieres decir con la imposibilidad de derivar si la cuerva no es suave?

Que cuando la funcion tiene algun "pico" (la verdad que no se como se dirá formalmente), como en el caso del vertice de la funcion modulo, la funcion no es deribable en dicho "pico", que en el caso mencionado sería el vertice.

Saludos