Otras carreras Centro de masa

[Elias]

Buenas
Sea $f:\mathbb{R}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}$ la función densidad de un cuerpo que ocupa la región A en el espacio de manera de que su masa venga dada por la expresión $m=\displaystyle\int_{A}f$
si definimos el su centro de masa como el punto en el espacio de coordenadas
$\overrightarrow{CM}= (\displaystyle\int_{A}^{}xf,\displaystyle\int_{A}^{}yf,\displaystyle\int_{A}^{}zf)$
entonces necesito probar y le agradezco su ayuda con algunas sugerencias
Sea A un cuerpo tal que para cualquier rotación del espacio L que deje fijo el eje $z$
$L(A)=A , f(L(\overrightarrow{x}))=f(\overrightarrow{x})$
Muestre que el centro de de masas de dicho cuerpo necesariamente se encuentra ubicado en el eje $z$
Saludos

[pod]

Re: Centro de masa

No afecta al problema, pero en la definición de centro de masas te has olvidado de dividir por la masa.

Está claro que tienes que demostrar que las integrales con x e y se anulan. Trabajemos con la de x, por ejemplo. Por la propiedad de invariancia que nos imponen,

$$\int_A \!\! \dd^3x\ x\, f(\vec x) = \int_A \!\! \dd^3x\ x\, f\big(L(\vec x)\big) \mathop{=}^? 0 .$$

En la segunda integeral, hago el cambio de variables $\vec x' = L(\vec x)$. Como es una rotación, el jacobiano del cambio de variables es uno, y además

$$x = a x' + b y ' , \qquad a^2 + b^2 = 1 .$$

Con lo cual, me queda

$$\int_A \!\! \dd^3x\ x\, f(\vec x) = \int_A \!\! \dd^3x'\ (a x' + b y' )\, f(\vec x') .$$

Como la variable de integración es muda, puedo cambiarle el nombre. En particular, me apetece quitar las primas, con lo cual tengo

$$\int_A \!\! \dd^3x\ x\, f(\vec x) = \int_A \!\! \dd^3x\ (a x + b y )\, f(\vec x) .$$

Usando la linealidad de la integral,

$$\int_A \!\! \dd^3x\ x\, f(\vec x) = a \int_A \!\! \dd^3x\ x\, f(\vec x) + b \int_A \!\! \dd^3x\ y \, f(\vec x) ,$$

o lo que es lo mismo,

$$(1-a) \int_A \!\! \dd^3x\ x\, f(\vec x) = b \int_A \!\! \dd^3x\ y \, f(\vec x) .$$

Esta igualdad tiene que ser cierta para cualquier valor de a y b, siempre que se cumpla la relación $a^2 + b^2 = 1$. Para $a = 1$, $b = 0$ obtengo una tautología, nada que decir.

Para $a = 0$ y $b = 1$, veo que las integrales sobre x e y son iguales. Para $a = 0$ y $b = -1$, veo que ambas integrales tienen diferente signo. La única forma de satisfacer estas dos condiciones, es que sean nulas. QED.

[Elias]

Re: Centro de masa

Hola, entendí perfecto tu explicación, muchas gracias.

Sólo me quedó una duda de por qué tomas esa rotación y cómo sabes la condición para a y b

Si me pudieras aclarar por favor

Gracias.

[pod]

Re: Centro de masa

Hola, entendí perfecto tu explicación, muchas gracias.

Sólo me quedó una duda de por qué tomas esa rotación y cómo sabes la condición para a y b

Si me pudieras aclarar por favor

Gracias.

Las rotaciones son transformaciones lineales, así que siempre se podrán escribir como una combinación lineal de las coordenadas (dejando a parte la z, que te dicen que no interviene). Además, isometrías, deben conservar el módulo de los vectores, de ahí sale la condición. No es nada del otro mundo.

Si tomas las fórmulas explícitas de la matriz de rotaciones en este caso, verás que los coeficientes a y b no son más que senos y cosenos (que, por supuesto, cumplen la condición).