1r ciclo definicion formal de limite

[Julián]

dada la definicion formal de limite



¿por que en la definicion hace referencia que primero se elije un epsilon y a partir de este se obtiene un delta? ¿por que no puede ser alrevez?

saludos

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: definicion formal de limite

Esa deficnión formaliza la idea intuitiva de que los valores de la función -f(x)- estén tan cercanos como queramos a L siempre que los valores de la variable independiente -x- estén suficientemetne cerca de c. Fíjate que es, precisamente, eligiendo EN PRIMER LUGAR un épsilon tan pequeño como queramos la clave.


Si, como tu dices, hacemos que para todo delta > 0 existe un épsilen (dependietne de delta) tq |f(x) - L| < épsilon si |x-c| < delta lo que estamos diciendo es que los valore sde la variablke independiente -x- podemos hacer que estén tan cercanos como queramos a c PERO nada se dice acerca de cómo de cercanas tiene que estar f(x) de L (que a fin de cuentas es lo que nos interesa). Con esta deficnión podríamos tener eligiendo, por ejemplo, delta = 0.01, un éspilon = 1, con lo que quedaría |f(x) - L| < 1 si |x-a| < 0.01 y eso no no sirva pa ná.

En fin creo que asimilar la definición de límite y aplicarla con soltura es de lo más difícil que se encuentra uno sobre mates al principio (luego no sé).

Para una mejor explicación consulta el Spivak. Para mi gusto, la mejor explicación está ahí.

[Dj_jara]

Re: definicion formal de limite

¿por que en la definicion hace referencia que primero se elije un epsilon y a partir de este se obtiene un delta? ¿por que no puede ser alrevez?

Por lo mismo que en el límite lo primero que haces es x->c no f(x) -> L

Es decir te puedes aproximar tanto como quieras a c y existirá un epsilon cada vez más pequeño para que los puntos próximos a c están próximos a L, pero al revés no pasa, supone que tienes f(x) = x/(1+x^2) tu tienes que para x = 0 f(x) = 0 y por tanto para |f(x)-0| < epsilon tendrías puntos alrededor de x, pero también resulta que cuando x->oo o a x->-oo f(x) = 0 con lo que si de |f(x)-0| < epsilon intentaras obtener un delta tal que |x-c|< delta te sería imposible.

Al fin y al cabo es una definición con lo que tampoco hay que darle vueltas y vueltas, pero resume muy bien el concepto natural de límite.

[juantv]

Re: definicion formal de limite

puede ser al reves, si bien tengo un delta ... existe un epsilon tal que.

[Dj_jara]

Re: definicion formal de limite

puede ser al reves, si bien tengo un delta ... existe un epsilon tal que.

Sí? intenta hacerlo como se reconcilia con la intuición natural de límite.

[ser humano]

Re: definicion formal de limite

Hola.

A mi me parece que en este caso son definiciones analogas, porque al decir que para todo delta existe un epsilon tal que:

$|x-c|< \delta$ implica que $|f(x) - L|< \epsilon$.

Estoy diciendo que puedo tomar cualquier $\delta$ arbitrariamente pequeño, es decir, hacer que la diferencia entre x y c sea todo lo pequeño que yo quiera, sabiendo que cuanto más "acerque" x a c, menor será la diferencia entre f(x) y el limite.

Por ejemplo, puedo tomar cualquier $\delta$, tomo $\delta_1 , \delta_2$, con $\delta_1 < \delta_2$, siendo:

$\delta_1 = |x_1 -c|$ y $\delta_2 = |x_2 - c|$

si $|f(x_2) - L|=\epsilon_2$, por la definición de límite (no convencional) se podria concluír que como $\delta_1 < \delta_2$, $|f(x_1) - L| = \epsilon_1 < \epsilon_2$ , es decir, que como estoy tomando un valor de x "mas cercano" a c, la diferencia entre la imagen de dicha x y el limite es menor. Esto ultimo creo que coincide completamente con la idea "intuitiva" que se tiene de limite.

Saludos

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: definicion formal de limite

Hola.

A mi me parece que en este caso son definiciones analogas, porque al decir que para todo delta existe un epsilon tal que:

$|x-c|< \delta$ implica que $|f(x) - L|< \epsilon$.

Estoy diciendo que puedo tomar cualquier $\delta$ arbitrariamente pequeño, es decir, hacer que la diferencia entre x y c sea todo lo pequeño que yo quiera, sabiendo que cuanto más "acerque" x a c, menor será la diferencia entre f(x) y el limite.

Por ejemplo, puedo tomar cualquier $\delta$, tomo $\delta_1 , \delta_2$, con $\delta_1 < \delta_2$, siendo:

$\delta_1 = |x_1 -c|$ y $\delta_2 = |x_2 - c|$

si $|f(x_2) - L|=\epsilon_2$, por la definición de límite (no convencional) se podria concluír que como $\delta_1 < \delta_2$, $|f(x_1) - L| = \epsilon_1 < \epsilon_2$ , es decir, que como estoy tomando un valor de x "mas cercano" a c, la diferencia entre la imagen de dicha x y el limite es menor. Esto ultimo creo que coincide completamente con la idea "intuitiva" que se tiene de limite.

Saludos

según esa definición, eso no lo sabes y es, precisamente, por lo que hay que elegir primero el éspilon y hacer la diferencia entre los f(x) y L tan pequeñas como deseemos.

[ser humano]

Re: definicion formal de limite

Hola.
Aún no puedo notar por qué no. De hecho, yo noto que es válido por lo que expresé en el parrafo que le continuaba a la parte de la cita que agrandaste. Veamoslo de otra forma:

En principio, hay algo que no se aclaró y que se debería aclarar cualquiera sea la definición propuesta; Existe una relación entre \delta y \epsilon, en donde se cumple que un \delta menor tiene una doble implicación con un \epsilon menor, es decir que si consideramos esto:



Habria que aclarar que un $\epsilon$ menor implica un $\delta$ menor, ya que de no ser así no se cumpliría que la imagen se aproxima más al límite cuando x se aproxima a c.

De igual forma se tiene que considerar, en la definición que se está poniendo en duda, que un $\delta$ menor implica un $\epsilon$ menor:

Yo se que para toda $\delta$ se cumple que existe un $\epsilon$ tal que $|x-c|< \delta$ implica $|f(x) - L|< \epsilon$ . Entonces comienzo fijando un $\delta$, a cual le corresponde un $\epsilon (\delta)$, es decir un valor epsilon que está en funcion del delta selecto . Claramente, este $\delta$ que comencé fijando tiene un valor de x que le corresponde. Tomemos un $x'$ tal que $|x' - c|< |x-c|$, y por lo tanto $\delta'=|x' -c|< \delta$. Por lo que al principio se enuncio, $|f(x') - L|< \epsilon$. Pero entonces $\epsilon (x')$ es necesariamente menor o igual a $\epsilon$, pero como $\delta'<\delta$ por la hipotesis mencionada más arriba, $\epsilon (x')< \epsilon$. Por esto último se puede notar que cuanto mas se aproxima x a c, mas se aproxima su imagen al limite.

Saludos

[Julián]

Re: definicion formal de limite

Lo que entendi es que a nosotros nos interesa que f(x) este tan cerca de L como nosotros queramos y no la variable independiente cerca de "x" valor. Por eso elejimos primero el epsilon, para acotar a la funcion, y a partir de ahi se determina un valor "delta", que está en funcion de epsilon y que acota a la variable independiente para que la funcion este tan cerca de L como qeramos.

Escrito por ser humano
Hola.

A mi me parece que en este caso son definiciones analogas, porque al decir que para todo delta existe un epsilon tal que:

implica que .

Estoy diciendo que puedo tomar cualquier arbitrariamente pequeño, es decir, hacer que la diferencia entre x y c sea todo lo pequeño que yo quiera, sabiendo que cuanto más "acerque" x a c, menor será la diferencia entre f(x) y el limite.

Por ejemplo, puedo tomar cualquier , tomo , con , siendo:

y

si , por la definición de límite (no convencional) se podria concluír que como , , es decir, que como estoy tomando un valor de x "mas cercano" a c, la diferencia entre la imagen de dicha x y el limite es menor. Esto ultimo creo que coincide completamente con la idea "intuitiva" que se tiene de limite.

Saludos
según esa definición, eso no lo sabes y es, precisamente, por lo que hay que elegir primero el éspilon y hacer la diferencia entre los f(x) y L tan pequeñas como deseemos.

Yo acuerdo con Ser humano. si el delta esta en funcion de epsilon entonces la funcion inversa es que el epsilon esta en funcion del delta.

[Dj_jara]

Re: definicion formal de limite

Una pequeña clase de lógica,

A -----> B
no es lo mismo que
A <-----> B


Una pequeña clase de acotaciones,

Dado un delta tal que |x-c| < delta claro que existe un epsilon tal que |f(x) -L| < epsilon, en concreto puedes tomar la L de forma arbitraría que con que hagas epsilon tan grande como sea necesario no habrá ningún problema.


Una pequeña clase de interpretación,

La definición del límite es clara, y en ningún sitio te dice que a un epsilon más pequeño tengas que tomar un delta más pequeño, así que sino lo dice no hay porque ir añadiendo cosas, sólo dice que existe delta. Un ejemplo muy básico es la función constante f(x) = 0, para epsilon = 1 existe delta =0.000000001 que lo cumple, para epsilon = 0.1 existe delta = 10^10 que lo cumple

Una pequeña clase de biyecciones, inyectivo y sobreyectiva,

Este apartado esta relacionado con el anterior, existe una relación de epsilon ---> delta, pero no es siquiera función (ya no digo en el sentido de función real sino en el de función sobre conjuntos) ya que para un epsilon dado o bien no existe delta(no existe el límite) o bien existen infinitos, así que el paso en el que intentáis hacer la inversa tiene unos pequeños problemas.

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: definicion formal de limite

Iba a añadir algo más, pero con lo anterior creo que es suficiente.
En cualquier caso, insisto, la explicación del Spivak es super.

[ser humano]

Re: definicion formal de limite

Hola Dj jara.

Debo confesar que el contenido de las pequeñas clases estaba claro por mi parte.
Creo que en ningun momento mencioné que una implicación era equivalente a una doble implicación. Lo que estamos evaluando no es que esta "definición cuestionada" se ajuste completamente a la primera definición dada, sino que se ajuste a la idea intuitiva de límite (eso era lo que en principio se mostró como motivo de no poder tomarla, y no solo por un hecho de convención). Por esto mismo es que de eso me base para mostrar por que me parece que la otra definicion tambien se ajusta, y no me base de la primera defincion para enunciar que vale ésta.

Dado un delta tal que |x-c| < delta claro que existe un epsilon tal que |f(x) -L| < epsilon, en concreto puedes tomar la L de forma arbitraría que con que hagas epsilon tan grande como sea necesario no habrá ningún problema.

Esto no se puede hacer por el hecho de que $\epsilon (x)$, o lo que es lo mismo $\epsilon (\delta)$ . El L no se puede imponer, es relativo al valor del $\epsilon$, el cual depende del valor de el delta, o bien del x elegido.
Creo que es notorio que si no se establece la dependencia entre delta y epsilon, en cualquiera de las definiciones, hay un problema ya que no se considera relaciona alguna entre estas magnitudes; En la definicion no cuestionada, su no se acepta ésto se podria tomar un epsilon igual a 4 y un delta igual a 0.01, y luego tomar un epsilon igual a 5 a cual le corresponde un delta igual a 0.001 . En este caso, L estaría cumpliendo con las condiciones de ser limite (excluyendo la dependencia entre delta y epsilon), y sin embargo "no lo sería". Es decir, Al L no se le está imponiendo ninguna condición si no hay una dependencia entre epsilon y delta, o al menos eso es lo que yo noto.

La definición del límite es clara, y en ningún sitio te dice que a un epsilon más pequeño tengas que tomar un delta más pequeño, así que sino lo dice no hay porque ir añadiendo cosas, sólo dice que existe delta. Un ejemplo muy básico es la función constante f(x) = 0, para epsilon = 1 existe delta =0.000000001 que lo cumple, para epsilon = 0.1 existe delta = 10^10 que lo cumple

Tal vez hay un mal entendido; Yo no estaba hablando de la definición que no se cuestiona, sino que intentaba corroborar que la definicion cuestionada tenga igual validez con la nocion intuitiva de límite que tiene la otra. En lo mencionado en el mensaje anterior, sólo se debería cambiar los menores o mayores, por menores-iguales o mayores-iguales. Lo que no puede pasar (y aqui es donde se debería incorporar la dependencia de delta con epsilon, que no está en la imagen inicial) es que a un delta menor que otro, le corresponda un epsilon mayor que éste, ya que esto estaría diciendo que cuando x se acerca a c, su imagen difiere más de L.

Este apartado esta relacionado con el anterior, existe una relación de epsilon ---> delta, pero no es siquiera función (ya no digo en el sentido de función real sino en el de función sobre conjuntos) ya que para un epsilon dado o bien no existe delta(no existe el límite) o bien existen infinitos, así que el paso en el que intentáis hacer la inversa tiene unos pequeños problemas.

Yo no hable en ningun momento de una función, sino que hable de una dependencia que hasta el momento no habia sido mencionada y que me parecía trascendente.

Saludos . Hablemos tranquilos que esto nos podría servir a todos

[lucass]

Re: definicion formal de limite

Hola.

A mi me parece que en este caso son definiciones analogas, porque al decir que para todo delta existe un epsilon tal que:

$|x-c|< \delta$ implica que $|f(x) - L|< \epsilon$.

Estoy diciendo que puedo tomar cualquier $\delta$ arbitrariamente pequeño, es decir, hacer que la diferencia entre x y c sea todo lo pequeño que yo quiera, sabiendo que cuanto más "acerque" x a c, menor será la diferencia entre f(x) y el limite.

Hola. No sé si entiendo bien lo que se está discutiendo. Creo entender la pregunta original de Julian403, y mi respuesta inmediata sería NO, no se puede hacer al revés.
Ahora Ser Humano ha ido un poco más allá, y me gustaría preguntar cómo se aplicaría esta nueva definición de límite en un caso como el que sigue: una función que valga 1 para todos los x negativos, y -1 para todos los x positivos y el cero. ¿cómo sería el límite de esta función en x=0?
Según la definición convencional está claro: no existe el límite puesto que si tomo un épsilon=0.5, no existe ningún delta tal que para cualquier x que diste de cero en menos que delta, su imagen diste de algún valor L en menos que 0.5. Luego como no se cumple para este epsilon particular, no se cumple para todo epsilon.
Ahora ¿qué diría la nueva definición?

[Dj_jara]

Re: definicion formal de limite

Creo que en ningun momento mencioné que una implicación era equivalente a una doble implicación.

En el momento que estas intentando cambiar el orden de la epsilon y la delta lo estas haciendo.

Lo que estamos evaluando no es que esta "definición cuestionada" se ajuste completamente a la primera definición dada, sino que se ajuste a la idea intuitiva de límite

Y por tanto debe ser compatible con la definición de límite.

Por esto mismo es que de eso me base para mostrar por que me parece que la otra definicion tambien se ajusta, y no me base de la primera defincion para enunciar que vale ésta.

Y mis críticas son a la propuesta que hiciste.

Esto no se puede hacer por el hecho de que , o lo que es lo mismo

Bien en tu propuesta epsilon depende de delta, no he dicho nada que vaya en contra.

El L no se puede imponer, es relativo al valor del

Y no lo he impuesto, lo que te he dicho es que en tu definición el L (el límite, si existe) puede ser cualquier número real y no habrá ningún tipo de problema ya que epsilon tiene libertad para ser tan grande como quiera.

Creo que es notorio que si no se establece la dependencia entre delta y epsilon, en cualquiera de las definiciones, hay un problema ya que no se considera relaciona alguna entre estas magnitudes;

Sí, pero en la definición de límite la elección de un epsilon te acota el conjunto de deltas que puedes coger. En tu definición la elección de una delta no acota el conjunto de epsilon que se puede coger, con lo que para todo delta puedes coger un epsilon tan grande como quieras que seguirá cumpliendose |f(x) -L| < epsilon para cualquier L

En la definicion no cuestionada, su no se acepta ésto

La definición es la que es, no hay medias tintas, y en la definición de límite la dependencia de epsilon, delta viene en la propia definición, no en propiedades Ad hoc.

En este caso, L estaría cumpliendo con las condiciones de ser limite (excluyendo la dependencia entre delta y epsilon)

L también esa cumpliendo que es una matriz, excluyendo que no lo es.

Tal vez hay un mal entendido; Yo no estaba hablando de la definición que no se cuestiona, sino que intentaba corroborar que la definicion cuestionada tenga igual validez con la nocion intuitiva de límite que tiene la otra.

Pues escribe matemáticamente la otra definición, porque tal como esta puesta en palabras de momento la otra definición no te limita que valor ha de tomar L, sino que tienes total libertad para decir que el límite es todo el conjunto de números reales. Lo cuál no se aproxima nada a la idea intuitiva de límite.

Lo que no puede pasar (y aqui es donde se debería incorporar la dependencia de delta con epsilon, que no está en la imagen inicial) es que a un delta menor que otro, le corresponda un epsilon mayor que éste, ya que esto estaría diciendo que cuando x se acerca a c, su imagen difiere más de L.

Que a un delta2 < delta1 --> epsilon2 < epsilon1 no implica que epsilonN se vaya a aproximar a 0, con lo que así tal cuál no estas consiguiendo tu objetivo (que para que f(x) tenga límite debe estar tan próximo al límite como sea posible)

yo no hable en ningun momento de una función

Para ir de una definición a otra haría falta una relación prácticamente biunívoca entre epsilon y delta. Eso es lo que he dicho claramente que no existe.

sino que hable de una dependencia que hasta el momento no habia sido mencionada y que me parecía trascendente.

Pero esa propiedad no se cumple con la definición usual y en la propuesta a espera que se ponga claramente la propuesta me abstengo de opinar y así no se tergiversa la conversación por ese aspecto de momento.

[ser humano]

Re: definicion formal de limite

Hola. No sé si entiendo bien lo que se está discutiendo. Creo entender la pregunta original de Julian403, y mi respuesta inmediata sería NO, no se puede hacer al revés.
Ahora Ser Humano ha ido un poco más allá, y me gustaría preguntar cómo se aplicaría esta nueva definición de límite en un caso como el que sigue: una función que valga 1 para todos los x negativos, y -1 para todos los x positivos y el cero. ¿cómo sería el límite de esta función en x=0?
Según la definición convencional está claro: no existe el límite puesto que si tomo un épsilon=0.5, no existe ningún delta tal que para cualquier x que diste de cero en menos que delta, su imagen diste de algún valor L en menos que 0.5. Luego como no se cumple para este epsilon particular, no se cumple para todo epsilon.
Ahora ¿qué diría la nueva definición?

Hola lucass, es ameno leer un poco menos de agresividad en este hilo . Como para no responder varias veces lo mismo, despues de las citaciones que haga de Dj jara voy a escribir un parrafo que tambien sería respuesta a lo que decis.

En el momento que estas intentando cambiar el orden de la epsilon y la delta lo estas haciendo.

Eso sería cierto si yo dijera que la definición formal implica la definición que estaba intentando expresar. No es eso lo que decía, sino que intentaba ver si eran dos formas de expresar la misma nocion intuitiva. Suele suceder que mismas nociones se pueden expresar de diferentes maneras.

Y por tanto debe ser compatible con la definición de límite.

No necesariamente. Te invito a leer el ultimo parrafo de este mensaje.

Y mis críticas son a la propuesta que hiciste.

No parecía que fuese así, porque criticaste el hecho de que yo interpretara una implicacion como una doble implicación, y eso no sucedio. Por eso mismo, te aclaraba que no estaba diciendo que por la implicación en la definicion formal existiera una doble implicación, sino que decía que eran validas ambas implicaciones segun la idea intuitiva.

Y no lo he impuesto, lo que te he dicho es que en tu definición el L (el límite, si existe) puede ser cualquier número real y no habrá ningún tipo de problema ya que epsilon tiene libertad para ser tan grande como quiera.

Sí, el un determinado epsilon puede ser tan grande como quiera, pero un epsilon correspondiente a un delta menor, debe ser menor a él. Y como el delta puede ser arbitrariamente pequeño, el epsilon esta forzado a serlo tambien. Así lo habia pensado, lo voy a volver a mirar.

La definición es la que es, no hay medias tintas, y en la definición de límite la dependencia de epsilon, delta viene en la propia definición, no en propiedades Ad hoc.

En una definicion se establecen propiedades ad hoc, si dichas propiedades son parte de lo que es lo definido.
En la siguiente definición:


No se dice que un $\epsilon$ menor debe implicar un $\delta$ menor para que se considere limite, y es algo necesario. Por ejemplo en la función

$y =<br /> \left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> -2x + 1 & \text{si}\ x \ge 0 \\<br /> -2x - 1 & \text{si}\ x < 0<br /> \end{array}<br /> \right.$

Si no se aclara dicha implicación, el límite cuando x tiende a cero, podria ser cero, ya que siempre existe un $\delta$ para cualquier epsilon (lo que no se cumple es la implicación).

L también esa cumpliendo que es una matriz, excluyendo que no lo es.

Sinceramente, me disgusta tu forma de comunicarte agresiva, y ademas me parece no solo inutil, sino que poco provechosa.
La frase que citas está fuera de contexto, porque en ese parrafo intentaba hacer notar que la definición que está en la imagen no muestra una dependencia como la expuesta, y un L que cumpla con las condiciones de la def de la imagen, no necesariamente sería un limite.


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Noté que ciertamente, la definición que estaba exponiendo no es equivalente a la definición "aceptada" de límite. Pero también noto que ésto es porque la última no se ajusta a la idea intuitiva de limite, si consideramos que dicha idea es:

"El limite en un punto es el valor al que se acerca las imagenes de ciertos valores de x, cuando x se va acercando a dicho punto".

Al menos ésta es la nocion intuitiva que yo tenía de limite, y que ya habia expresado. ¿Por que no me parece que coincida con la definición formal? Porque por ejemplo, en una función constante, el limite está bien definido segun su definición formal, sin embargo no es cierto que a midida que x se aproxima a un valor, la imagen de x se aproxima a otro, porque de hecho, la imagen de x permanece constante.

La definición que yo exponía, que consideraba y considero que se ajusta a ésta nocion intuitiva de límite correspondía a lo siguiente:

$\forall \delta , \exists \epsilon$ tal que :

$|x-c|<\delta \rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$

Con un $\epsilon (\delta)$ , cumpliendose que si $\delta_1 < \delta_2 \rightarrow \epsilon (\delta_1) < \epsilon (\delta_2)$

La diferencia fundamental que yo noto con la otra definicion es que una función con segmentos constantes como la que me dio/diste () lucass, no cumpliría con ésta definición, ya que la última implicación no resulta, pero tampoco la cumpliría cualquier función constante. Lo que resulta conforme a la idea intuitiva que expuse.

Con la definición aceptada, si bien existe una implicación entre el epsilon y el delta, no hay problemas con las funciones constantes, ya que si bien $\epsilon_1<\epsilon_2 \rightarrow \delta_1<\delta_2$, dado un epsilon, puede haber varios delta que cumplan con el requisito.


Queda más que claro que uno se debe manejar con la definición formal de limite ya que a eso es lo que se hace referencia cuando uno calcula o expresa un limite, y por eso no se puede usar ésta otra definicion (ya que no son equivalentes). Pero queria exponer todo ésto, imagino que le resultara interesante a más de uno.

Saludos