definicion formal de limite

[ser humano]

Re: definicion formal de limite

tal que :



Con un , cumpliendose que si

No, tampoco. Para el caso de la función partida que habia puesto como ejemplo, se cumple todo esto para L=0 y sin embargo no existiría el límite ni siquiera como nocion intuitiva.
Pareciera que se podría lograr una definicion que se ajuste por completo a esa "nocion intuitiva" solo a partir de limites laterales. Igual, creo que ya no es de mucha relevancia .

+ Saludos

[Dj_jara]

Re: definicion formal de limite

Pongo esto lo primero (aunque antes de escribir esto, ya he respondido cosas en semejanza)

Noté que ciertamente, la definición que estaba exponiendo no es equivalente a la definición "aceptada" de límite. Pero también noto que ésto es porque la última no se ajusta a la idea intuitiva de limite, si consideramos que dicha idea es:

"El limite en un punto es el valor al que se acerca las imagenes de ciertos valores de x, cuando x se va acercando a dicho punto".

Pues si consideras que la definición de límite no cumple eso, sólo te puede aconsejar una cosa, Dedicale más tiempo a meditar sobre la definición. (y mirate al menos la respuesta al tercer quote, que quizás te aclare cosas)

Eso sería cierto si yo dijera que la definición formal implica la definición que estaba intentando expresar. No es eso lo que decía, sino que intentaba ver si eran dos formas de expresar la misma nocion intuitiva. Suele suceder que mismas nociones se pueden expresar de diferentes maneras.

La definición de límite capta de una forma esplendida la noción intuitiva de límite, así que o otra definición es equivalente o muy semejante en el comportamiento.

En una definicion se establecen propiedades ad hoc, si dichas propiedades son parte de lo que es lo definido.
En la siguiente definición:

En la conversación estas intentando propiedades ad hoc al decir como debe comportarse un determinado delta en función de un determinado epsilon como si no se cumpliera por si en la definición. El problema yo creo que estas asociando a un epsilon un único delta (cosa que no dice la definición, y es evidente que si tienes uno que lo cumpla tienes todo un intervalo de deltas que te sirven)

No se dice que un menor debe implicar un menor para que se considere limite, y es algo necesario.

Eso es algo que no dice porque no es necesario, cuando epsilon se haga menor obtendrás si existe el límite que el comportamiento en toda una región |x-c|<delta es tal que |f(x) - L| < epsilon. Si tu quieres puedes tomar como delta' = sup { k : |x-c|<k --> |f(x)-L|<epsilon} (en caso de que el supremo sea infinito, delta' = epsilon), en realidad esa delta' no tiene porque cumplir que |x-c| < delta'--> |f(x)-L| < epsilon, ya que el conjunto de k que hemos definido puede ser un conjunto abierto, pero se soluciona tomando delta = delta' /2.

Si tu tomas ese delta para cada epsilon si que tienes que según baja (o se queda igual) epsilon baja delta. Pero la definición así en general es mucho más general (aunque equivalente), ¿para que quieres limitar el delta que tomes a un intervalo cada vez más pequeño si el comportamiento de tu función en todo el espacio hace que no sea necesario?

Por ejemplo en la función



Si no se aclara dicha implicación, el límite cuando x tiende a cero, podria ser cero, ya que siempre existe un para cualquier epsilon (lo que no se cumple es la implicación).

Esa función en el conjunto de los reales no tiene el límite definido. Se puede definir por partes, según te aproximas por la izquierda o por la derecha, y la definición de límite te lo dice claramente que no tiene límite. Ya que dices que existe un delta para todo epsilon que cumple el límite, dime un delta para epsilon = 1/4

Sinceramente, me disgusta tu forma de comunicarte agresiva, y ademas me parece no solo inutil, sino que poco provechosa.

La forma de comunicarse es la idónea en esta situación, dejando claro punto por punto. Si lo considerar agresivo deberías buscar otra acepción para la palabra.

La frase que citas está fuera de contexto

La frase esta en su contexto y mi respuesta también. Tu estabas tomando la definición de límite (A) y estabas añadiendo supuesto (que implican ¬A), lo cuál no suele ser muy bueno para sacar conclusiones. La dependencia de las posibles deltas con la epsilon viene en la propia definición del límite y si no lo ves deberías dedicarle más tiempo a entenderlo antes de intentar buscar otra definición "más intuitiva". Debes entender que en la definición hay para todo epsilon >0, no es sólo un epsilon concreto, si al hacerse epsilon pequeño resulta que no existe ningún L que por mucho que te aproximes al punto exista delta es que no existe el límite. Si existe un L que cumple eso, por la propia definición, cuando te vayas acercando cada vez más al punto en cuestión la función se aproximara más a su límite.

Al menos ésta es la nocion intuitiva que yo tenía de limite, y que ya habia expresado. ¿Por que no me parece que coincida con la definición formal? Porque por ejemplo, en una función constante, el limite está bien definido segun su definición formal, sin embargo no es cierto que a midida que x se aproxima a un valor, la imagen de x se aproxima a otro, porque de hecho, la imagen de x permanece constante.

Que la imagen sea constante es un problema para considerar el límite? ¿Acaso es mentira que a medida que x se aproxima a c, f(x) también se aproxima a su valor? (Que se aproxima tan bien como para ser siempre lo mismo no es un inconveniente, te esta diciendo como se comporta alrededor del punto y en este caso su comportamiento es el mismo por doquier)

tal que :



Con un , cumpliendose que si

Tal cual no se aproxima a la definición de límite a menos que le añadas más supuestos adicionales (ad-hoc). Considera$\delta_n = \frac{1}{n}$ voy a coger una función en particular para que se vea claro, por ejemplo la función constante f(x) = 0 (para hacerlo fácil)

y consideremos el límite para x-->0

con lo que tenemos$|x| < \frac{1}{n}$ pues ahora vamos a determinar cuál sería el límite según esa definición, veamos cojamos $\epsilon_n = 10 +1/n$ que cumple tu definición.

entonces resulta que L = 0 cumple la definición, pero L = 1/2 también (en realidad muchos más lo cumplen)

Bueno el resto ya no lo respondo porque es lo mismo que he dicho. Así que Mirate mejor la definición de límite.

[Hasclepio]

Re: definicion formal de limite

Hola

Este mensaje lo he visto en otro foro y creo que se acabaría toda "ambigüedad" (si es que la hubo) simplemente siendo más "lógicos" en sentido matemático.

La definición de límite es la que es, no tiene ningún sentido discutirla, porque no es un teorema, es una definición.

Sin embargo, aquí se quiere probar una equivalencia entre dos definiciones tales que:

Si tomamos como $d_1$ la definición usual y como $d_2$ la definición que resulta de cambiar de orden el epsilon, habría que probar:

$\boxed{d_1 \Leftrightarrow d_2}$

Creo que no tiene sentido discutir. Si alguien encuentra un contraejemplo en cualquiera de los dos sentidos o similar, automáticamente queda demostrado que no son equivalentes.

un saludo

[Dj_jara]

Re: definicion formal de limite

La definición de límite es la que es, no tiene ningún sentido discutirla, porque no es un teorema, es una definición.

La definición es la que es, pero también es de lo más básico de la matemática y lo que se hace es discutir sobre como capta la idea intuitiva de límite, que es lo que al fin y al cabo lo que llevo a la definición.

Sin embargo, aquí se quiere probar una equivalencia entre dos definiciones tales que:

Si tomamos como la definición usual y como la definición que resulta de cambiar de orden el epsilon, habría que probar:

No exactamente la equivalencia, sino si capta la idea intuitiva de límite (aunque como ya he dicho en otros post como la definición de límite la capta de una forma tan esplendida es difícil que cualquier otra no sea equivalente), Aunque al principio sólo se dijo de cambiar el orden de epsilon, delta luego han ido añadiendo más cosas para ver si era posible.

Creo que no tiene sentido discutir. Si alguien encuentra un contraejemplo en cualquiera de los dos sentidos o similar, automáticamente queda demostrado que no son equivalentes.

Yo ya he demostrado que la definición de ser humano no es equivalente y que tampoco se corresponde con la idea intuitiva. Pero eso no quita que añadiendo más elementos a la definición se pueda poner primero delta y luego epsilon.

[Hasclepio]

Re: definicion formal de limite

La definición es la que es, pero también es de lo más básico de la matemática y lo que se hace es discutir sobre como capta la idea intuitiva de límite, que es lo que al fin y al cabo lo que llevo a la definición.

No. Aquí -con otras palabras- se ha planteado una pregunta muy concreta: dada una definición de límite, se pregunta porqué no se puede intercambiar el orden algo concreto de ella.

Esto traducido en matemáticas es preguntar si dadas dos definiciones ambas son equivalentes.

Es de lógica de primero de carrera.

No exactamente la equivalencia, sino si capta la idea intuitiva de límite

Que no jajaaj, que esto es una discusión paralela que ha surgido precisamente por la falta de formalismo matemático.

Simplemente se acaba la discusión si pruebas que la equivalencia que escribí es cierta o es verdadera.

El que la definición represente o no la idea intuitiva de límite es una discusión paralela que ha surgido después.

Yo ya he demostrado que la definición de ser humano no es equivalente

Discúlpame, sin quitarte mérito alguno y sin ninguna acritud aquí hay dos definiciones, una, la que históricamente se ha venido aceptando, que está desde los libros de Bartle de Análisis Matemático, pasando por el Munkes de Topología o el de Análisis Matemático de Linés Escardó, y otra definición, que es cambiando de orden el epsilon.

No hay más que demostrar lo que escribí arriba. La equivalencia

Quizá esto pueda parecer un poco abstracto y sea debido a mí formación matemática, pero es así y con esta objetividad como se demuestra algo en matemáticas, cuando estudiaba ingeniería no se formaba al alumno en el razonamiento matemático, tampoco se hace en la física, sólo lo he vivido en la carrera de matemáticas durante tiempo en las demostraciones.

y que tampoco se corresponde con la idea intuitiva. Pero eso no quita que añadiendo más elementos a la definición se pueda poner primero delta y luego epsilon.

Esto, perdóname, con todo mi respeto, es "palabrería superflua" que de nada sirve en matemáticas. Espero que no parezca brusca ni ordinaria esta frase, pero es la manera más coloquial de expresarlo.

Si quieres demostrarlo, lo haces con la equivalencia de arriba, tienes multitud de métodos: reducción al absurdo, contraposición, marcha atrás... hay cientos, incluso un contra-ejemplo valdría.

un saludo

[Dj_jara]

Re: definicion formal de limite

No. Aquí -con otras palabras- se ha planteado una pregunta muy concreta: dada una definición de límite, se pregunta porqué no se puede intercambiar el orden algo concreto de ella.

Y eso esta respondido en el tercer comentario, pero si te has leído el resto del hilo verás que no es lo que se estaba discutiendo.

Que no jajaaj, que esto es una discusión paralela que ha surgido precisamente por la falta de formalismo matemático.

Debe ser que el último comentario de Ser humano no es lo suficiente formal para ti. Pero ahí da claramente su propuesta.

Simplemente se acaba la discusión si pruebas que la equivalencia que escribí es cierta o es verdadera.

Si te restringes a una discusión que no se esta llevando a cabo, si que se acaba.

El que la definición represente o no la idea intuitiva de límite es una discusión paralela que ha surgido después.

No mucho después, ya que básicamente esta desde el principio del hilo.

Discúlpame, sin quitarte mérito alguno y sin ninguna acritud aquí hay dos definiciones, una, la que históricamente se ha venido aceptando, que está desde los libros de Bartle de Análisis Matemático, pasando por el Munkes de Topología o el de Análisis Matemático de Linés Escardó, y otra definición, que es cambiando de orden el epsilon.

No hay más que demostrar lo que escribí arriba. La equivalencia

Quizá esto pueda parecer un poco abstracto y sea debido a mí formación matemática, pero es así y con esta objetividad como se demuestra algo en matemáticas, cuando estudiaba ingeniería no se formaba al alumno en el razonamiento matemático, tampoco se hace en la física, sólo lo he vivido en la carrera de matemáticas durante tiempo en las demostraciones.

Si bueno, el resto que hemos participado en la conversación ni idea de matemáticas, ni de como se demuestran cosas. Pero es que te estas restringiendo a un tema que no esta en en la discusión final. Si las herramientas matemáticas se usan en física aparte de por ser útiles es por que tiene sentido su utilización, y en el caso del límite su idea intuitiva y es lo que se estaba discutiendo. La definición de límite no surgió en ramas abstractas de matemáticas, sino debido a su idea intuitiva.

Aparte disculpa que me entrometa pero la definición de límite en espacios topológicos es una generalización del límite que se toma en análisis real. Con lo que no es exactamente la misma definición.

Esto, perdóname, con todo mi respeto, es "palabrería superflua" que de nada sirve en matemáticas. Espero que no parezca brusca ni ordinaria esta frase, pero es la manera más coloquial de expresarlo.

Por suerte lo que sirve no lo decide una persona en concreto. Porque esa frase si que es superflua intentando cortar una discusión aunque en ella se estén dando argumentos.

¿No te parece que añadiendo más supuestos se pueda cambiar el orden de epsilon, delta?

¿No te parece que tenga sentido discutirlo?

¿O te preocupa acabar teniendo 2 definiciones que no sean equivalentes pero que representen la misma idea intuitiva?

Sea cual sea en matemáticas tienes multitud de ejemplos de todo ello, así que no se de que va ese intento de cortar la discusión cuando en ella ya se estaba pidiendo argumentos concretos.