1r ciclo Integral racional

[skinner]

Hola buenas, estoy tratando de integrar la siguiente función:

$\int \frac{t-1}{2t^{2}+t+1} \,dt$

Pero me encuentro con que el denominador no tiene raíces reales, para así descomponerlo y obtener dos fracciones que me permitan integrar... ¿cómo puedo seguir?

¡Un saludo!

[arreldepi]

Re: Integral racional

Hola, la derivada de lo de abajo es

$$4t+1,$$

a ti te interesa tener eso en el numerador para que sea más fácil resolverla, de forma que si multiplicas arriba y abajo por 4 tienes que

$$\frac{t-1}{2t^{2}+t+1}=\frac{4t-4}{4(2t^{2}+t+1)}$$

Sumas y restas cinco en el numerador

$$\frac{4t-4+5-5}{4(2t^{2}+t+1)} = \frac{4t+1}{4(2t^{2}+t+1)}-\frac{5}{4(2t^{2}+t+1)}$$

Según las propiedades de las integrales $\int\alpha(a+b)\dd x = \alpha\int a\dd x + \alpha\int b\dd x$ así que

$$\int\frac{t-1}{2t^{2}+t+1} = \frac 14\int \frac{4t+1}{(2t^{2}+t+1)}\dd t - \frac 54\int\frac{\dd t}{2t^2+t+1}$$

La primera es inmediata,

$$\frac 14\int \frac{4t+1}{(2t^{2}+t+1)}\dd t =\frac 14 \log(2t^2+t+1)+k$$

Para resolver la segunda, intenta obtener un cuadrado perfecto en el denominador, para ello

$$(2t^2+t+1) = \left(\sqrt 2 t+\frac{\sqrt 2}{4}\right)^2+\frac 78$$

Ahora en el integrando te queda

$$\frac{1}{(2t^2+t+1)}=\frac{1}{\left(\sqrt 2 t+\frac{\sqrt 2}{4}\right)^2+\frac 78}$$

Si ahora haces el cambio

$$u = \sqrt2 t + \frac{\sqrt 2}{4}$$

ya lo tendrás


Saludos!

[skinner]

Re: Integral racional

Muchas gracias! Me enteré de todo excepto de lo último: ¿cuadrado perfecto? ¿para qué? ¿cómo lo calculo?

Un saludo!

[arreldepi]

Re: Integral racional

Cuando en el denominador de una integral racional tengas algo que se parezca a un binomio en el denominador, intenta conseguirlo, de esa forma al hacer el cambio que te he propuesto, te quedará una integral cuya solución será una arcotangente. Eso siempre que en el numerador tengas un real.

Saludos!

[skinner]

Re: Integral racional

¿Y cómo has calculado el cuadrado perfecto? Has hecho la raiz cuadrada de 2t^2, pero, ¿de donde has sacado el otro sumando?

Un saludo y muchas gracias

[GNzcuber]

Re: Integral racional

Hola skinner,

Supón que tienes la forma general:

$$\dst a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Lo principal es fijarse que el término lineal sea el doble producto del término cuadrático por el término independiente. Para ello, lo mejor que puedes hacer es hacer un polinomio mónico (mónico: polinomio con coeficiente del término de mayor grado igual a la unidad), es decir:

$$\dst a\cdot x^2+b\cdot x+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$$

Para que el término lineal sea el doble producto de lo que buscamos, y gracias a que hemos hecho mónico el polinomio, debemos modificar el término lineal.

$$\dst \frac{b}{a}x=2\cdot \sqrt{x^2}\cdot \sqrt{\frac{c}{a}}\Rightarrow \frac{c}{a}=\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

Como el término lineal debe valer eso, sumamos y restamos para no modificar el resultado (si lo multiplicas y divides por lo que te falta no tendrás ningún resultado satisfactorio):

$$\dst a\cdot x^2=b\cdot x+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)$$

$$\dst a\left[\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right]=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4a\cdot c-b^2}{4a}$$

Bueno, ahora, fíjate que en el último paso tengo un término separado que no está multiplicado por a, pues lo ideal es hacer a factor común y sacarlo de la raíz e integral, luego sacar factor común el término independiente y también extraerlo de la raíz e integral, así tendrás algo de la forma $\dst (1+y^2)$ en el denominador.

Con el ejemplo anterior no lo he puesto porque es un caso genérico, a partir de una ecuación de segundo grado y el término independiente sale algo "complejo".

El mismo caso pero simplificado sería:

$$\dst \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{a-b^2}{c}=\frac{a-b^2}{c}\left[\frac{c}{a-b^2}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+1\right]$$

Si tienes en cuenta que $\dst \frac{c}{a-b^2}=\sqrt{\frac{c}{a-b^2}}^2$ y que $\dst a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$, tendrás:

$$\dst \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{a-b^2}{c}=\frac{a-b^2}{c}\left[\left(\frac{2a\cdot x+b}{2a}\sqrt{\frac{c}{a-b^2}}\right)^2+1\right]$$

Luego, lo que está en el paréntesis le dices $\dst u$, hallas su derivada, que no es difícil, es del estilo $\dst k\cdot x$, ya que lo demás es constante y haces el cambio.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Integral racional

GNzcuber, todo muy detallado, paso por paso, de lo mejor que he encontrado... Muchísimas gracias

Un saludo!

[Hardy el paradojico]

Re: Integral racional

a mi siempre me gustó más esta forma ; si las soluciones de una ecuación de segundo grado $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ son complejas de la forma $\displaystyle x=p \pm qi , i\in \mathbb{C}$ podremos escribir esto $\displaystyle ax^2+bx+c=a[(x-p)^2 +q^2]=0$ .

un saludo

[skinner]

Re: Integral racional

a mi siempre me gustó más esta forma ; si las soluciones de una ecuación de segundo grado $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ son complejas de la forma $\displaystyle x=p \pm qi , i\in \mathbb{C}$ podremos escribir esto $\displaystyle ax^2+bx+c=a[(x-p)^2 +q^2]=0$ .

un saludo

Gracias! Pero, ¿y si no son complejas?

Un saludo!

[skinner]

Re: Integral racional

Por cierto, esa fórmula no me sirve para x^2 + 2x + 3

[Metaleer]

Re: Integral racional

La idea es sencilla.

Tienes el polinomio $x^2 + 2x + 3$ y te interesa ponerlo en la forma $(x + a)^2 + b$. Sólo tienes que igualar:

$$x^2 + 2x + 3 = (x + a)^2 + b$$

desarrollar el segundo miembro

$$x^2 + 2x + 3 = x^2 + a^2 + 2ax + b$$

e identificar coeficientes

$$2 = 2a \Rightarrow \boxed{a = 1,}$$

$$3 = a^2 + b \Rightarrow \boxed{b = 2}.$$

Así, tienes que $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$.

Saludos.

[Hardy el paradojico]

Re: Integral racional

Por cierto, esa fórmula no me sirve para x^2 + 2x + 3

Si sirve, buscamos las raíces por el método general y obtienes estas :
$x=-1+\sqrt{2} i , -1-\sqrt{2} i<br />$
por tanto $p=-1 , q=\sqrt{2} , a=1$ sustituímos en la fórmula que te dí antes,y obtienes que$(x+1) ^2 +2=0$ que claramente es igual a $x^2 + 2x + 3 =0<br />$

Gracias! Pero, ¿y si no son complejas?

Un saludo!

te puse el caso de que sean complejas porque ese era el problema a mi parecer que tenías , si no son complejas mucho más fácil supongamos un polínomio $ux^2+wx+y=0$ pongamos que obtienes estas dos raíces $x=a', b' \in \mathbb{R}$, por tanto $ux^2+wx+y=(x-a')(x-b')$

un saludo

[skinner]

Re: Integral racional

Muchísimas gracias a los dos.

Metaleer, creo que esa es la forma tradicional... igualar miembros, igualar coeficientes y san seacabó

Un saludo y gracias de nuevo!

[pod]

Re: Integral racional

La mejor forma de "completar cuadrados" es la siguiente (aunque bueno, va a gustos).

Primero, uno mira el coeficiente del término cuadrático, lo que llamamos normalmente "a". En este caso, un 2. Y uno empieza escribiendo lo siguiente:

$$2t^2 + t + 1 = 2 \Big( t \ldots$$

El término cuadrático ya está arreglado. Ahora nos fijamos en el término lineal. Lo primero, ponemos el mismo signo que tenga, en este caso positivo.

$$2t^2 + t + 1 = 2 \Big( t + \ldots$$

Luego, si recordamos que al desarrollar el cuadrado, el coeficiente saldrá multiplicado por $2a$. Así que cogemos el coeficiente lineal y lo dividimos por $2a$. En este caso, $b/2a = 1/4$. Así que ya lo podemos escribir,

$$2t^2 + t + 1 = 2 \left( t + \frac14\right)^2 \cdots$$

Sólo queda el término independiente. Hay que quitar lo que hemos añadido. En este caso, lo que hemos añadido es el 1/4 al cuadrado y multiplicado por el dos de delante, es decir, 2 (1/4)^2 = 1/8. Este valor se lo restamos a lo que había antes en el término independiente, 1 - 1/8 = 7/8. Por lo tanto,

$$2t^2 + t + 1 = 2 \left( t + \frac14\right)^2 + \frac{7}{8} .$$

De esta forma, uno consigue completar el cuadrado sin tener que escribir más que un simple paso.

Después, no normal es querer hacer un cambio de variables de forma que quede como $u^2 + 1$. En este caso, lo que hacemos es factorizar de forma que nos quede el uno. Eso quiere decir factorizar el 7/8. Esto nos dejará un factor $2\cdot 8/7 = 16/7$, que tenemos que poner dentro del cuadrado. Es decir

$$2t^2 + t + 1 = 2 \left( t + \frac14\right)^2 + \frac{7}{8} = \frac78 \left[ \left( \frac{4 t + 1}{\sqrt 7} \right) + 1 \right] .$$

Y aquí, con dos simple pasitos ya tienes todo factorizado y clarisimo. La única pega es que hay que tener cierta habilidad con el cálculo mental; sino siempre puedes hacer las cuentas intermedias en un márgen de la hoja, pero en cualquier caso se ahorra mucho tiempo.

Ahora, si haces el cambio $u = (4t+1)/\sqrt{7}$, necesariamente verás que lo de arriba queda como otro polinomio de grado uno, y por lo tanto podrás separar la integral en una arcotangente y un logaritmo.