Otras carreras ¿Expresión trigonométrica?

[skinner]

Buenas, tengo lo siguiente:

$${[\tan (\frac{\arctan(x/2)}{2})]}^{2}$$

¿Se puede reducir de alguna manera? ¿O simplemente lo dejo así?

En caso de poder reducirse agradecería que me detallaran la manera.

¡Un saludo! y gracias

[Al2000]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

Buenas, tengo lo siguiente:

$${[\tan (\frac{\arctan(x/2)}{2})]}^{2}$$

¿Se puede reducir de alguna manera? ¿O simplemente lo dejo así?

En caso de poder reducirse agradecería que me detallaran la manera.
...

Depende de lo que tu entiendas por reducir. Un par de posibilidades son

- Aproximación por series: $\dst \left[\tan \frac {\tan^{-1} (x/2)} 2\right]^2 \approx \frac {x^2}{16} \left(1-\frac {x^2} 8\right)$

- Usando las identidades $\dst \tan \frac A 2 = \pm \sqrt {\frac {1 - \cos A}{1 + \cos A}}$ y $\dst \cos( \tan^{-1} u) = \frac 1 {\sqrt {u^2+1}}$: $\dst \left[\tan \frac {\tan^{-1} (x/2)} 2\right]^2 = \frac {\sqrt {x^2+4}-2}{\sqrt {x^2+4}+2}$

¿Te sirve alguna?

Saludos,

Al

[skinner]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

Más bien me sirve más la segunda, porque no creo que las aproximaciones por Taylor sean válidas como solución a una integral :P

Agradecería que me explicases en pleno detalle tu razonamiento... ¿por qué partes de la tangente del ángulo mitad? ¿por qué partes del coseno del arcotangente? ¿cómo has llegado a la expresión resultante?

Muchísimas gracias Al2000,

¡Un saludo!

[Al2000]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

Más bien me sirve más la segunda, porque no creo que las aproximaciones por Taylor sean válidas como solución a una integral :P
...

Claro que si, como solución aproximada

...¿por qué partes de la tangente del ángulo mitad?...

Porque tienes la tangente de la mitad de un ángulo ...y elevada al cuadrado para completar... como quien dice, están hechas la una para la otra

...¿por qué partes del coseno del arcotangente?...

Porque luego de aplicar la fórmula del ángulo mitad te queda el coseno de una arcotangente.

...¿cómo has llegado a la expresión resultante?...

Haz $A = \tan^{-1} (x/2)$ y aplica la identidad de la tangente del ángulo mitad. Haz $u = x/2$ y aplica la identidad del coseno de la arcotangente a cada uno de los cosenos que te quedan del paso anterior. Suma quebrados y racionaliza la expresión resultante.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

Gracias a tu magnífica explicación, he conseguido desarrollar yo mismo la expresión inicial.

¡Gracias por tu ayuda!

Un saludo.

[skinner]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

Por cierto, la tangente del ángulo doble se demuestra a partir de la tangente de la suma de dos ángulos... puedo demostrarla también de la siguiente manera? (a partir del ángulo doble):

tg (2a) = [sen(2a) / cos(2a)] = [2sen(a)cos(a) / cos^2(a) - sen^2(a)]

Si dividimos numerador y denominador por cos^2(a) nos queda:

tg (2a) = [2tg(a) / (1 - tg^2(a)]

haciendo a=(1/2)a' tenemos:

[tg (a')] · [1 - tg^2(a' / 2)] = 2tg(a' / 2)

hacemos x = tg (a' / 2) y desarrollamos corchetes:

tg (a') - [tg(a')]x^2 - 2x = 0

ordenamos un poco la expresión:

[tg(a')]x^2 + 2x - tg(a') = 0

El resto es una ecuación de segundo grado simple...

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+4tg^2(a')} }{2tg(a') }$

factor común en la raíz, simplificamos:

$$x=\frac{-1\pm sec(a')}{tg(a') }$$

¿Es correcto el razonamiento? ¿Son válidas las dos soluciones que obtuve? Nunca ´vi la tangente del ángulo mitad expresado como lo expresé yo... quizá me haya equivocado.

¡Un saludo!

[Al2000]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

...
El resto es una ecuación de segundo grado simple...

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+4tg^2(a')} }{2tg(a') }$

factor común en la raíz, simplificamos:

$$x=\frac{-1\pm sec(a')}{tg(a') }$$

¿Es correcto el razonamiento? ¿Son válidas las dos soluciones que obtuve? Nunca ´vi la tangente del ángulo mitad expresado como lo expresé yo... quizá me haya equivocado.
...

Es correcto, aunque el signo menos en la secante no es válido en este caso (puedes verificar que en el rango $0 \leqslant a' \leqslant \pi/2$, el lado derecho es negativo mientras que el lado izquierdo es positivo). Déjame poner la fórmula en limpio. Cambiando $a' \to A$:

$$\tan \frac A 2 = \frac {\sec A - 1}{\tan A}$$

En el manual de Murray Spiegel la consigues un poco diferente, como es fácil de obtener a partir de tu expresión:

$$\tan \frac A 2 = \frac {1 -\cos A }{\mathrm {sen} \, A}$$

Otras variantes se pueden obtener fácilmente.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

Es correcto, aunque el signo menos en la secante no es válido en este caso (puedes verificar que en el rango $0 \leqslant a' \leqslant \pi/2$, el lado derecho es negativo mientras que el lado izquierdo es positivo).

¿Serías tan amable de explicarme esto un poco más detalladamente? No sabría representar la función secante en la circunferencia goniométrica...

¡Un saludo y muchas gracias!

[Al2000]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

No hay problema. Recuerda que la secante es 1/coseno. En el rango (0 -> pi/2) el coseno varía en el rango (1 -> 0) y por lo tanto la secante varía en el rango (1 -> infinito); la tangente por su parte varía en (0 -> infinito). Entonces en la expresión que obtuviste, si tomas el signo menos, el lado derecho es negativo mientras que el lado izquierdo es positivo. Entonces se debe descartar ese signo de la solución de la ecuación de segundo grado.

Saludos,

Al

[pod]

Re: ¿Expresión trigonométrica?

$\dst \left[\tan \frac {\tan^{-1} (x/2)} 2\right]^2 = \frac {\sqrt {x^2+4}-2}{\sqrt {x^2+4}+2}$

Una vez tienes esto es una lástima no terminar,

$$\frac {\sqrt {x^2+4}-2}{\sqrt {x^2+4}+2} = 1 + \frac1{x^2} \Big( 8 - 4 \sqrt{x^2+4} \Big) .$$

Simplemente se multiplica y divide por $\sqrt {x^2+4}-2$.


Alternativamente, podemos multiplicar y dividir por $\sqrt {x^2+4}+2$, con lo que quedaría

$$\frac {\sqrt {x^2+4}-2}{\sqrt {x^2+4}+2} = \frac{x^2}{x^2 + 8 + 4\sqrt{x^2+4}} .$$

Esta última parece la mejor forma, ya que deja bien claro que no hay singularidad en $x = 0$.