1r ciclo cual es la integral de menos infinito a infinito de x por e a la menos cuadrada si en vez de x es x cuadrada

[Newtomana23]

hola¡¡¡¡
bueno, me gustaria saber cuanto la integral de menos infinito a infinito de
x por e a la menos cuadrada,se que de cero a infinito esta integral da raiz de pi entre dos, ( formulazo jeje) pero la de menos a infinito a cero es igual que menos la integral de cero a infinito, por que segun yo esta integral da cero.
y bueno la otra integral, es decir la integral de menos infitnio a infinito de x cuadrada por e a la menos x cuadrada, y bueno se que esta da raiz de pi sobre 4 si va de cero a infinito y de menos infitnio a cero??? espero me puedan ayudar gracias¡¡¡¡
y solo por curiosidad y en vez de x cuadrada fuera x a la n, como seria la integral de menos infinito a cero de x a la n por exponencial a la menos x cuadrada?
espero me puedan guiar
gracias¡¡¡

[Newtomana23]

Re: cual es la integral de menos infinito a infinito de x por e a la menos cuadrada si en vez de x es x cuadrada

hoda¡¡¡, no se precoupen ya lo logre resolver de todos modos gracias¡¡¡¡

[GNzcuber]

Re: cual es la integral de menos infinito a infinito de x por e a la menos cuadrada si en vez de x es x cuadrada

Hola Newtomana23,

Te recomiendo aprender a usar $\dst \LaTeX$.

Lo que dices creo que es:

$$\dst \int_{-\infty}^\infty x\cdot e^{-x^2}{d}x$$

Sin embargo, para la "segunda parte" pones

$$\dst \int_{-\infty}^\infty x^2\cdot e^{-x^2}{d}x$$

Sé que ya lo has resuelto, pero has de resolverlas como indefinidas y hacer los límites correspondientes, la primera es inmediata, y la segunda con una integración por partes tienes suficiente:

$$\dst \int_{-\infty}^\infty x\cdot e^{-x^2}{d}x=\lim_{\epsilon\to -\infty}\lim_{\Lambda\to\infty}\int_\epsilon^\Lambda x\cdot e^{-x^2}{d}x=\lim_{\epsilon\to -\infty}\lim_{\Lambda\to\infty}\left[-\frac{e^{-x^2}}{2}\right]_\epsilon^\Lambda=0$$

Eso significa que tendrás que hacerla en dos partes, como ya pretendías:

$$\dst \int_{-\infty}^\infty x\cdot e^{-x^2}{d}x=\left|\int_{-\infty}^0x\cdot e^{-x^2}\right|+\int_0^\infty x\cdot e^{-x^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

Con la otra:

$$\dst \int_{-\infty}^\infty x^2\cdot e^{-x^2}{d}x=\lim_{\epsilon \to -\infty}\lim_{\Lambda\to\infty}\left(\left[-x\frac{e^{-x^2}}{2}\right]_\epsilon^\Lambda+\frac{1}{2}\int_\epsilon^\Lambda x\cdot e^{-x^2}{d}x\right)=\frac{1}{2}$$

Sí, es increíble que me de esto, y mi calculadora me dice que es 0.8862269544, pero no me fío mucho, porque el resultado de la integral anterior me puso cero, y lo tuve que separar para que me diera el resultado correcto ... e igual al mío .

¡Saludos!

[Al2000]

Re: cual es la integral de menos infinito a infinito de x por e a la menos cuadrada si en vez de x es x cuadrada

Amigo, puedes ahorrar algo de trabajo si reconoces la paridad de la función que estás integrando y recuerdas que la integral de una función impar entre límites simétricos es cero. También algo puedes ahorrar si usando la misma idea reconoces que la integral de una función par entre límites simétricos es el doble de la integral entre cero y el límite superior.

Saludos,

Al

PD. Entre tu ecuación (3) y tu ecuación (4), la correcta es la (3).

[Newtomana23]

Re: cual es la integral de menos infinito a infinito de x por e a la menos cuadrada si en vez de x es x cuadrada

sip, y sabes que tambien se puede deducir que la integral de x a la n por la exp de menos x cuadrada es cero si n es impar y si es par la integral de menos a infinito es dos veces la integral de cero a infinito gracias¡¡¡, yo lo note graficando la funcion fe floopot o algo asi,

[[Beto]]

Re: cual es la integral de menos infinito a infinito de x por e a la menos cuadrada si en vez de x es x cuadrada

Hola Newtomana23,
Sí, es increíble que me de esto, y mi calculadora me dice que es 0.8862269544, pero no me fío mucho, porque el resultado de la integral anterior me puso cero, y lo tuve que separar para que me diera el resultado correcto ... e igual al mío .

¡Saludos!

Se que este hilo es muy viejo, pero me parece importante mencionar que $\dst \int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-x^2}\dd x=\frac{\sqrt \pi}{2}$ y no 0,5.