1r ciclo Con respecto a los polinomios de Taylor

[skinner]

Buenas! Tengo una pregunta: ¿por qué el resto de Taylor es una derivada superior al polinomio de Taylor?

Un saludo!

[skinner]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Ah, otra preguntilla!
Tengo la función: f(x) = 1/(x+1)

Me piden el desarrollo de Taylor de orden 3 alrededor del punto a=0, y tengo que:

$${P}_{3}=1-x+\frac{2}{2!}{x}^{2}-\frac{3}{3!}{x}^{3}$$

Sin embargo, Mathematica dice que:

$${P}_{3}=1-x+{x}^{2}-{x}^{3}$$

Quiero saber exactamente por qué simplifica de esa manera (está afirmando que $\frac{3}{3!}=1$ ?? )

Un saludo!

[Al2000]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Tienes un error en el último término, debe ser $\dst - \frac 6 {3!} x^3$.

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

En el término de $x^3$ aparece un 6, y 6/6! = 1.

Fíjate que las derivadas son:

$$f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2},\qquad\qquad f''(x)=\frac{2}{(x+1)^3},\qquad\qquad f'''(x)=-\frac{6}{(x+1)^4}$$

y tenemos que el desarrollo de Taylor-Maclaurin es:

$$\left.f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)\right|_{x_0=0} = f(0)+f'(0)x + \frac 12 f''(0)x^2 + \frac{1}{3!}f'''(0)x^3$$

con lo cual

$$f(x)=1-x+x^2 -x^3 + \mathcal{O}(x^4)$$

Saludos!

[skinner]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Muchas gracias a los dos fue un error al derivar. ¿Podríais contestarme a la primera pregunta de todas? Era la siguiente: ¿por qué el resto de Taylor es un grado superior al polinomio de Taylor?

Un saludo!

[arreldepi]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Es el Teorema de Taylor, es un poco largo y pesado de demostrar xD, lo que dice es que si tienes una función n+1 veces derivable en (a,b) y $x_0$ pertenece a dicho intervalo, entonces, para cada x del intervalo existe un $\xi$ (entre x y $x_0$, sea cual sea mayor de los dos), tal que

$$f(x)-T_n(x)= \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

donde $T_n=\sum_{k=0}^n\frac{f^{k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)$


Intenta buscar la demostración en algún libro de Calculo.

Saludos.

[skinner]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Muchas gracias, ahora a ver si me dices dónde puedo haber tenido el fallo en este problema. Me dicen:

"¿Para qué valores de x se puede reemplazar sen(x) por

$$x-\frac{{x}^{6 } }{6}$$

con un error menor que $5\times{10}^{-4 }$ "

Mi razonamiento fue:

Se deduce de los polinomios de Taylor que nos dan, que a=0. Como todas las derivadas pares de f(x)=sen(x) son (-1)^(n)·sen(x), y todas las derivadas impares de f(x)=sen(x) son (-1)^(n)·cos(x), evaluando en a=0, nos queda que las derivadas pares desaparecen (pues el seno de 0 es 0), y las derivadas impares cogen la forma (-1)^n
De esto anterior puede deducirse que el Polinomio de Taylor de grado impar es igual al mismo Polinomio de Taylor de grado par. De todo esto se deduce que el grado del polinomio que nos dan es n=4

Nos imponen que:

$$|f(x)-{P}_{4 }(x)| = |{R}_{4 }(x)| = \frac{cos c}{ 5!}{x}^{5 }$$

Pero se sabe que:

$$\frac{cos c}{ 5!}{x}^{5}\leqslant \frac{{x}^{5 } }{5! } < 5\times{10}^{-4 }$$

Y de ahí saco que: $x\approx 0.5696$

Pero si sustituimos por ejemplo 0.56 en f(x)=sen(x) y luego en P4(x), no me sale un error menor a 5·10^(-4) ¿Por qué?

Un saludo!

[Al2000]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Estás un poco lejos del valor máximo. Si consideras la función seno aproximada como $\dst \mathrm {sen} \, x = x - \frac 1 6 x^3 + \frac 1 {120} x^5 + O(x^6)$, al restar el polinomio propuesto debería cumplirse que $\dst \left |\frac 1 6 x^3 - \frac 1 {120} x^5 \right | < \notcien 5 {-4}$. Pues bien, la solución numérica de $\dst \frac 1 6 x^3 - \frac 1 {120} x^5 - \notcien 5 {-4} = 0$ da 0.1443.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Pero bueno, la solución es la que yo puse arriba... es decir, mi resultado coincide con el del libro "Cálculo de varias variables", de Thomas. Y quería saber por qué da ese resultado, si al sustituir por ejemplo 0.56 en f(x) y en P4(x) tengo un error mayor que 5·10^(-4)

Un saludo y gracias!

[Al2000]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

skinner, te estás contradiciendo... o es la solución o no lo es:

$\dst \left |\mathrm {sen} \, (0.56) -\left(0.56 - \frac {0.56^6} 6\right) \right | = |-0.023\,674 \cdots| > \notcien 5 {-4}$.

$\dst \left |\mathrm {sen} \, (0.1443) -\left(0.1443 - \frac {0.1443^6} 6\right) \right | = |-0.000\,499 \cdots| < \notcien 5 {-4}$.

Si el libro dice que 0.56 es la solución y el problema es tal cual lo planteaste aquí, entonces la solución del libro simplemente está mal.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Con respecto a los polinomios de Taylor

Ay lo siento! Me equivoqué en el exponente... qué tonto soy. Dice que para aproximadamente qué valores de x puede reemplazarse sen(x) por $x-\frac{{x}^{3 } }{6 }$ con un error de magnitud no mayor que 5·10^(-4)

Ahora sí, la solución debe ser 0.5696 approx. Siento haberte hecho trabajar de más... ahora sí, querría saber por qué me da esta solución, si al sustituir 0.56 en ambos f(x) y P4(x) no me da un error menor a 5·10^(-4)...

Muchas gracias Al,

Un saludo!