1r ciclo Límite (sen x)/x

[skinner]

Buenas... mi profe dice que no podemos usar infinitésimos para resolver el límite:

$$\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}$$

Y aunque pudiéramos usarlos, solo sabría que $sen x \approx x$ cuando x->0 (¿¿tiene algo que ver con los polinomios de Taylor?? ahora que lo pienso, puede ser... agradecería que me contestárais a esta pregunta también)

Un saludo!

[[Beto]]

Re: Límite (sen x)/x

Buenas... mi profe dice que no podemos usar infinitésimos para resolver el límite:

$$\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}$$

Y aunque pudiéramos usarlos, solo sabría que $sen x \approx x$ cuando x->0 (¿¿tiene algo que ver con los polinomios de Taylor?? ahora que lo pienso, puede ser... agradecería que me contestárais a esta pregunta también)

Un saludo!

Solamente tienes que tomar en cuenta que:

$$\sin x<x<\tan x\Longrightarrow \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

y tomar límites a ambos lados.

(para darte cuenta de esa desigualdad dibuja la circunferencia trigonometrica y considera un ángulo en el primer cuadrante)

[Al2000]

Re: Límite (sen x)/x

Cuando dices que no puedes usar infinitésimos, ¿te refieres a que no puedes derivar para resolver la indeterminación?

Si haces una gráfica superpuesta de las funciones y = sen x, y = x verás como ambas gráficas tienden simultáneamente hacia cero, con pendientes idénticas y se confunden en una sola línea

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Límite (sen x)/x

Si los infitésimos fueran resultados de un desarrollo de Taylor, tengo una duda...

¿Por qué se linealizan? Es decir, por qué no se hace una aproximación cuadrática o cúbica, en lugar de una aproximación lineal?

Por ejemplo, para el caso del infinitésimo equivalente cuando x->0 de 1-cos(x) ~ (1/2)x^2

Si hacemos una linealización (polinomio de Taylor de grado 1), tenemos que P1=0
Pero haciendo una aproximación cuadrática (p. de Taylor de grado 2), tenemos que P2=(1/2)x^2 = P3

¿Por qué no dicen que el inf. equivalente de 1-cos x cuando x->0 es 0?

Un saludo!

[skinner]

Re: Límite (sen x)/x

Por cierto, gracias a vuestras dos respuestas anteriores. Con respecto a la de Al2000: acabo de dibujar las dos gráficas en una misma, y quiero saber por qué tengo que tener en cuenta ese hecho de la pendiente. Con respecto a la de [Beto]... me complicado ver esa desigualdad, he dibujado el primer cuadrante de una circunferencia goniométrica, pero me cuesta ver que el ángulo (x) cualquiera es mayor que su seno pero menor que su tangente...

Un saludo!

[Al2000]

Re: Límite (sen x)/x

Todo depende del grado de la aproximación que desees hacer. En un cálculo podría ser una aproximación suficientemente buena tomar que cos(x->0) = 1, pero si deseas mayor precisión podrías usar también el siguiente término en el desarrollo de la función. En el primer caso estás reconociendo que la función tiende a 1; en el segundo caso estás reconociendo que la función tiende a 1 pero siguiendo una curvita muy cercana a una parábola, y así sucesivamente con aproximaciones cada vez mejores.

En el caso de la función seno (también la tangente) es mas notorio. Siempre decimos que sen(x->0) = x, en lugar de decir que sen(x->0) = 0. Ambas expresiones dicen que la función tiende a cero, pero la segunda nos dice además con que velocidad lo hace.

Cuando derivas numerador y denominador en un límite del tipo 0/0 estás resolviendo el empate viendo quién llega mas rápido

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Límite (sen x)/x

Muchas gracias! Me estáis ayudando bastante

...
Cuando derivas numerador y denominador en un límite del tipo 0/0 estás resolviendo el empate viendo quién llega mas rápido

Me gusta esta personificación... jejeje

Un saludo!

[pod]

Re: Límite (sen x)/x

Si los infitésimos fueran resultados de un desarrollo de Taylor, tengo una duda...

¿Por qué se linealizan? Es decir, por qué no se hace una aproximación cuadrática o cúbica, en lugar de una aproximación lineal?

Por ejemplo, para el caso del infinitésimo equivalente cuando x->0 de 1-cos(x) ~ (1/2)x^2

Si hacemos una linealización (polinomio de Taylor de grado 1), tenemos que P1=0
Pero haciendo una aproximación cuadrática (p. de Taylor de grado 2), tenemos que P2=(1/2)x^2 = P3

¿Por qué no dicen que el inf. equivalente de 1-cos x cuando x->0 es 0?

Un saludo!

Por definición, dos funciones son infinitesimos equivalentes en un punto (en este caso x = 0) si ambas tienden a cero en dicho punto, y además se cumple

$$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 .$$

Como ves, demostrar que

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ,$$

es demostrar que $\sin x$ y $x$ son infinitesimal equivalentes. Pero no puedes usar el resultado de un cálculo para hacer el mismo cálculo. Así que no puedes usar infinitésimos equivalentes para hacer ese límite, ya que ese límite es lo que te define los infinitesimos equivalentes.

Como ves, no tiene nada que ver con polinomios de Taylor (aunque los polinomios de Taylor se pueden usar para encontrar infinitésimos equivalentes), ni con que sea lineal o no. Si tu puedes demostrar que el límite del cociente da uno, tienes un infinitesimo equivalente, sea lineal, cúbico, elevado a la potencia 118, o una función transcendente.

[skinner]

Re: Límite (sen x)/x

Entonces Pod, ¿cómo resolverías tú ese límite? ¿Diciendo que sen x ~ x cuando x->0?

Un saludo muchas gracias

[magic]

Re: Límite (sen x)/x

yo no tengo ni idea de lo que es un infinitesimo
pero yo lo resolveria usando l'hopital,a noser que eso sea usar infinitesimos

[GNzcuber]

Re: Límite (sen x)/x

Los infinitésimos son números muy pequeños, así como los infinitos son números muy grandes. De la misma manera que no podemos representar el infinito con un número, porque siempre encontraremos otro mayor, y debemos recurrir al cálculo de límites, con los infinitésimos también debemos recurrir a los límites, porque se necesita un número positivo mayor que cero, e "inmediatamente" superior a cero, pero como sabemos, en el conjunto de los reales dados dos números diferentes siempre podemos encontrar un tercero que sea mayor a uno y menor que el otro. Es decir,

$$\dst \text{sean }a,b\in \mathbb{R}|a<b\, \exists c\in \mathbb{R}|a<c<b$$

Sólo basta tomar $\dst c=\frac{a+b}{2}$.

La idea del infinitésimo sería la siguiente: $\dst lim_{x\to a}(x-a)^n=O\left[(x-a)^n\right]$. Recordemos que los límites se acercan tanto a un número como se desee, pero nunca toman el valor al que tienden, así la diferencia $\dst x-a$ tiende a cero, por supuesto que si esta diferencia está elevada al cuadrado, será más pequeña, o lo que es equivalente, tenderá más rápido a cero. Ésto es un infinitésimo de segundo orden, y se representa $\dst O\left[(x-a)^2\right]$.

¿Para qué sirve saber esto? Simplemente, para omitir cantidades que contribuyen de manera insignificante al resultado, y para, a priori, saber el resultado de algunos límites. Sabemos que si $\dst f(x)=x$ y $\dst g(x)=x^2$, y tenemos la siguiente operación:

$$\dst \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty$$

Antes de hacer ninguna operación, si yo te hubiese dicho que $\dst f(x)$ es un infinitésimo de primer orden cuando equis tiende a cero, y $\dst g(x)$ es de segundo orden en la misma tendencia, inmediatamente sabrías el resultado porque el divisor tiende a cero más rápidamente que el numerador.

skinner, usar infinitésimos es usar una evaluación que tengamos para comparar los límites, así que Taylor queda descartado, luego se me ocurre hacerlo tanto por l'Hôpital, como aplicar la condición de [Beto]. Pero esta última, también es una evaluación. Y me parece muy extraño que quieran que lo resuelvas por l'Hôpital ¿Seguro que el enunciado no dice "resolver utilizando infinitésimos..."?

¡Saludos!

[pod]

Re: Límite (sen x)/x

Entonces Pod, ¿cómo resolverías tú ese límite? ¿Diciendo que sen x ~ x cuando x->0?

Un saludo muchas gracias

Precisamente no puedes usar eso, ya que ese límite es lo que define que $\sin x \sim x$.

L'Hopital es una opción, como dice magic. La otra es lo que dijo Beto en el #2.