1r ciclo Nuevo ejercicio de Taylor

[skinner]

Buenas, tengo una duda con un ejercicio. Dice:

"Usa un desarrollo de Taylor de la función Ln(1+x) para calcular Ln(1.2) con un error menor que e=0.01"

Yo lo he resuelto por (testeo?), así:

Un desarrollo de Taylor de la función Ln(1+x) en torno a un punto que yo he escogido: a=0, sería así:

$${P}_{n}(x)=0+x-\frac{1}{2!}{x}^{2}+\frac{2}{3!}{x}^{3}-\frac{3}{4!}{x}^{4}+...+\frac{{(-1)}^{n-1}(n-1)}{n}{x}^{n}$$

Luego he dicho: bueno, pues vamos a probar de n=0 a n=5:

Cuando n=1 ---> ${P}_{1}(0.2)=0.2$
Cuando n=2 ---> ${P}_{2}(0.2)=0.18$
Cuando n=3 ---> ${P}_{3}(0.2)=0.181333...$
Cuando n=4 ---> ${P}_{4}(0.2)=0.1812666...$
Cuando n=5 ---> ${P}_{5}(0.2)=0.181269333...$

Pero sabemos que $f(0.2) = \ell n(1.2) = 0.1823215568...$

Entonces, ¿qué n cojo? Es decir, ¿cómo sé que la diferencia entre f(1.2) y Pn(0.2) es menor que e=0.01? ¿Podría resolverse el ejercicio como yo lo hice, o hay alguna forma más rigurosa?

Un saludo, y gracias

[pod]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

Es cuestión de tomar el teorema de Taylor, que nos permite estimar el error que se comete al truncar la serie a orden n. Viene a decir que si cortamos la expansión a orden n el error cometido es, exactamente,

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!} x^{n+1} .$$

Donde $x_1$ es un real entre 0 (el punto donde se hace la expansión) y $x$ (el punto donde se hace la aproximación). Lo que pasa es que no tenemos forma alguna de calcular $x_1$, así que no podemos saber el error exacto (saber el error exacto sería equivalente a saber el valor exacto, claro). Pero sí que podemos buscar una cota. De esta forma, podemos asegurarnos que el error real sea menor que esta cota. Así que lo que tienes que hacer es buscar el valor mínimo de $n$ tal que

$$\epsilon \ge \left| \mathop{\max}_{x_1} \frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!} x^{n+1} \right| .$$

En el caso del problema concreto, sabemos que

$$\left| f^{(n+1)} (x_1) \right| = \frac1{|1+x_1|^n}.$$

Hacer una cota de esto es muy sencillo. Es decreciente, así el máximo siempre está en $x_1 = 0$, así que podemos asegurar que $\left| f^{(n+1)} (x_1) \right| \le 1$. Así que sólo (salvo error u omisión) te queda ver cual es el $n$ más pequeño por el que

$$\frac{0.2^{(n+1)}}{(n+1)!} \le 0.01 .$$

[skinner]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

$$\epsilon \ge \left| \mathop{\max}_{x_1} \frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!} x^{n+1} \right| .$$

En el caso del problema concreto, sabemos que

$$\left| f^{(n+1)} (x_1) \right| = \frac1{|1+x_1|^n}.$$

Hacer una cota de esto es muy sencillo. Es decreciente, así el máximo siempre está en $x_1 = 0$, así que podemos asegurar que $\left| f^{(n+1)} (x_1) \right| \le 1$. Así que sólo (salvo error u omisión) te queda ver cual es el $n$ más pequeño por el que

$$\frac{0.2^{(n+1)}}{(n+1)!} \le 0.01 .$$

No entendí esta parte pod, puedes ser más concreto? max(f(x)) significa el máximo de f(x)? Te lo agradecería

Un saludo!

[pod]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

No entendí esta parte pod, puedes ser más concreto? max(f(x)) significa el máximo de f(x)? Te lo agradecería

Un saludo!

Pues parece que lo entiendes lo suficiente para decir lo que significa.

[skinner]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

¿Pero que quiere decir que epsilon sea mayor que toda esa expresión? Estoy en la ecuación (2) de tu post. ¿El error debe ser mayor o igual al máximo de la función Rn(x1)? Es eso lo que no entiendo...

[pod]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

¿Pero que quiere decir que epsilon sea mayor que toda esa expresión? Estoy en la ecuación (2) de tu post. ¿El error debe ser mayor o igual al máximo de la función Rn(x1)? Es eso lo que no entiendo...

Eso es algo de teoría, repasalo en tus apuntes.

El teorema de Taylor dice que existe un $x_1$ tal que el error (la diferencia entre el valor real y la serie truncada) es exactamente igual a $R_n(x_1)$. El problema es que (normalmente) no podemos saber cual es ese valor de $x_1$. Por eso, lo que hacemos es buscar el máximo de la función $R_n(x_1)$, y por lo tanto obligatoriamente el error es igual o menor a dicho máximo.

[GNzcuber]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

¿Pero que quiere decir que epsilon sea mayor que toda esa expresión? Estoy en la ecuación (2) de tu post. ¿El error debe ser mayor o igual al máximo de la función Rn(x1)? Es eso lo que no entiendo...

El error de Lagrange entre la aproximación polinómica y la función original es $\dst \left|f(x)-T_n(f(x),x=a)\right|=\frac{f^(n+1)(C)(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$, con $\dst c\in (a,b)$, siendo a y b análogos a 0 y x en la explicación de Pod.
Si a esa diferencia le llamamos épsilon ($\dst \varepsilon$) puedes ver que aproximadamente el error que cometemos. No obstante, en el error está todo "bien definido", es decir, sabemos qué valores toman, exceptuando lógicamente la incógnita (n), pero también el valor de la evaluación de la derivada c. Dicho valor lo debemos escoger de manera que la función sea máxima (el valor de la n-ésima+1 derivada, que no deja de ser una función), y así acotamos superiormente el error, por lo tanto teniendo un error (épsilon) mayor al valor máximo que puede coger la resta de Lagrange en esas condiciones, será mayor que los errores que podamos cometer para diferentes puntos.
Ahora, Pod te dijo, "y como la función es decreciente", con ello te das cuenta que el valor máximo que toma la resta será mayor en el menor de los puntos del intervalo de evaluación.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

A ver si lo he entendido... el máximo de la función Rn(x1) es el error máximo que podemos cometer... por tanto, el error será MENOR o igual a ese error máximo. O análogamente si quisiéramos poner una cota inferior. Preguntas:

1. ¿Estas afirmaciones son verdaderas? Por lo menos es lo que he entendido de vuestros post. En caso verdadero, la ecuación (2) de Pod es incorrecta, creo.

2. ¿Cómo calculamos este máximo?

3. Pod, independientemente de todo esto, ¿cómo has llegado a la expresión (3) de tu post?

4. ¿Funciona el método que usé al principio, por tanteo?

5. En caso de que 4 sea falso, ¿realmente hay que tener en cuenta todo esto para resolver un ejercicio?

Gracias y saludos, espero vuestras respuestas!

[pod]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

1. ¿Estas afirmaciones son verdaderas? Por lo menos es lo que he entendido de vuestros post. En caso verdadero, la ecuación (2) de Pod es incorrecta, creo.

No veo ningún typo en la ecuación, así que diría que es correcta. Es un teorema, no puedes discutirlo. La única particularidad es que he aplicado el caso en que se hace la expansión alrededor del cero.

2. ¿Cómo calculamos este máximo?

Igual que cualquier otro máximo.

3. Pod, independientemente de todo esto, ¿cómo has llegado a la expresión (3) de tu post?

Derivando.

4. ¿Funciona el método que usé al principio, por tanteo?

En matemáticas, no. Ten en cuenta que esto se aprende a hacer para casos en que uno no sabe calcular el valor real, así que mirar el valor real del logaritmo es trampa. Necesitas un teorema que te acote el error cometido.

En física, a la práctica, muchas veces vamos calculando términos hasta que vemos que el valor no cambia demasiado. Pero eso no es muy riguroso, ya que hecho así no tenemos ninguna garantía que la serie sea convergente.

5. En caso de que 4 sea falso, ¿realmente hay que tener en cuenta todo esto para resolver un ejercicio?

Por supuesto. Estás en la universidad, no haciendo chiquilladas.

[skinner]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

Os voy a parecer pesado, pero de verdad... acabo de ponerme a repasar Taylor y ni se me ocurre cómo solucionar el puñetero ejercicio, y eso que me he mirado mil veces vuestras respuestas. Pero nada...

Ojalá algún buen forero se ofreciera a ayudarme de nuevo con el ejercicio. Le estaría eternamente agradecido.

Un saludo

[pod]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

Os voy a parecer pesado, pero de verdad... acabo de ponerme a repasar Taylor y ni se me ocurre cómo solucionar el puñetero ejercicio, y eso que me he mirado mil veces vuestras respuestas. Pero nada...

Ojalá algún buen forero se ofreciera a ayudarme de nuevo con el ejercicio. Le estaría eternamente agradecido.

Un saludo

El problema está hecho en el segundo mensaje. Sólo tienes que buscar cual es el valor de n más bajo que cumple la ecuación 4.

[skinner]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

Hola Pod. En tu mensaje 2, pusiste:

$$\epsilon \ge \left| \mathop{\max}_{x_1} \frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!} x^{n+1} \right| .$$

Según tu explicacion, el error debe ser menor al máximo valor que puede tomar el Resto de Taylor. ¿Podrías comprobar si hay un error de signo?

Y también me dijiste que para calcular el máximo de la función Resto de Taylor, hay que derivar Rn(x), pero ¿cómo derivo $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!} x^{n+1}$? ¿Hay forma alguna?

Y por tercero, en mi mensaje afirmé que:

$${P}_{n}(x)=0+x-\frac{1}{2!}{x}^{2}+\frac{2}{3!}{x}^{3}-\frac{3}{4!}{x}^{4}+...+\frac{{(-1)}^{n-1}(n-1)}{n}{x}^{n}$$

para f(x)=Ln(1+x)
Pero ahora que he repasado creo que hay un error en el término general. ¿Podrías comprobarlo?

Por último, he de decir que sé sacar un término general (es muy útil para todo, en especial para usar Polinomios de Taylor), pero no sé sacarlo en funcion del signo (aquello que se pone, lo de: (-1)^(2n+1), etc.). ¿Hay alguna pauta general? ¿Cuál sigues tú?

Muchísimas gracias por tu ayuda, un saludo!

[pod]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

Según tu explicacion, el error debe ser menor al máximo valor que puede tomar el Resto de Taylor. ¿Podrías comprobar si hay un error de signo?

No. Lo que hay dentro del valor absoluto es una cota al error máximo posible en el orden n, y tú quieres que eso sea más pequeño que la precisión deseada, $\epsilon$.

Y también me dijiste que para calcular el máximo de la función Resto de Taylor, hay que derivar Rn(x), pero ¿cómo derivo $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!} x^{n+1}$? ¿Hay forma alguna?

Pues se deriva igual que cualquier otra función. Simplemente pones la expresión concreta para la función, y derivas. Es que te ahogas en un baso de agua.

De todas formas, la mayor parte de las veces no es necesario derivar para sacar una buena cota.

Y por tercero, en mi mensaje afirmé que:

$${P}_{n}(x)=0+x-\frac{1}{2!}{x}^{2}+\frac{2}{3!}{x}^{3}-\frac{3}{4!}{x}^{4}+...+\frac{{(-1)}^{n-1}(n-1)}{n}{x}^{n}$$

para f(x)=Ln(1+x)
Pero ahora que he repasado creo que hay un error en el término general. ¿Podrías comprobarlo?

http://www.wolframalpha.com/input/?i...+{x%2C0%2C15}]

Por último, he de decir que sé sacar un término general (es muy útil para todo, en especial para usar Polinomios de Taylor), pero no sé sacarlo en funcion del signo (aquello que se pone, lo de: (-1)^(2n+1), etc.). ¿Hay alguna pauta general? ¿Cuál sigues tú?

Muchísimas gracias por tu ayuda, un saludo!

Pues $(-1)^{n+1}$ (o $(-1)^{n-1}$, es lo mismo) si los pares son negativos y los impares positivos; y $(-1)^{n}$ si viceversa. No tiene más misterio.

No tiene ningún sentido algo como $(-1)^{2n+1}$, ya que eso siempre es -1 (si n es entero).

[skinner]

Re: Nuevo ejercicio de Taylor

Pod, con las ideas medianamente aclaradas, releeré el post segundo que me dejaste y si tengo alguna otra duda te pregunto.

Un saludo y mil gracias por las molestias