2o ciclo Integral que no se Resuelve

[Katika]

Bueno siempre eh visto este tipos de integrales que no se pueden resolver, me gustaria saber de una manera mas acertada el porque o hasta que punto se da aconocer que no s puede... aunque se que se puede por metodos numericos, me gustaria saber como lo haria, con ambos metodos.

gracias de antemano

atte. Katika

[GNzcuber]

Re: Integral que no se Resuelve

Hola Katika,

La primera integral no tiene primitiva, por lo menos no sencilla, y no sé cómo se aproximaría entre límites reales finitos, ya que siendo infinitos esa función no es integrable. La segunda no es integrable pero tiene primitiva, así que este tipo de integrales puedo hacer. Primero hay que notar que en x=0 hay una singularidad por lo tanto tendré que calcular dos integrales impropias:

$$\dst \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{d}x}{x}=\lim_{\varepsilon\to -\infty}\int_\varepsilon^0\frac{{d}x}{x}+\lim_{\Lambda\to\infty}\int_0^\Lambda\frac{{d}x}{x}=\lim_{\varepsilon\to-\infty}\left[\ln|x|\right]_\varepsilon^0+\lim_{\Lambda\to\infty}\left[\ln|x|\right]_0^\Lambda=$$

$$\dst \ln(0)-\ln|-\infty|+\ln(\infty)-\ln(0)=0$$

Esto es porque la función $\dst \frac{1}{x}$ es asimétrica, pero siempre es mejor que alguien que sepa más lo corrobore.

¡Saludos!

[pod]

Re: Integral que no se Resuelve

La primera de ellas sí se puede resolver, da infinito.

La segunda tiene una singularidad. Hay que decidir qué se hace al pasar por la singularidad para poder hacer la integral. Por ejemplo, uno puede tomar lo que se suele llamar "valor principal", que define la integral de la siguiente forma:

$$\mathrm{PV} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\dd x}{x} = \lim_{\epsilon\to 0} \left[ \int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\dd x}{x} + \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{\dd x}{x} \right]$$

Esto es justamente lo que hizo GN.

Hay otras formas de evitar la singularidad, por ejemplo usando números complejos, pero en definitiva lo que debe quedarte claro es que esa integral, sin más, no tiene sentido: es necesario decir que se hace con la singularidad.

[Hardy el paradojico]

Re: Integral que no se Resuelve

para añadir algo a lo ya dicho una posible forma de demostrar la divergencia de la primera puede ser esta


$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e ^{x^2}dx = (\int_{-\infty}^{1} + \int_{1}^{\infty} ) e ^{x^2}dx$ si demostramos que esta última desde 1 a infinito es divergente la integral de menos infinito a infinito también lo será, pero como esto puede ser un poco lioso hemos de darnos cuenta que la podemos comparar con un función " menor " a ella , es decir, si el área barrida por esta función más pequeña es infinita el área de la que me interesa seguro que también lo será , por ejemplo cojamos

$e ^x \leqslant e^{x^2} , \forall x \in [1,\infty]$ por tanto si $\int_{1}^{\infty} e ^{x}dx =\infty$entonces $\int_{1}^{\infty} ) e ^{x^2}dx=\infty$ y por consiguiente $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e ^{x^2}dx= \infty$