1r ciclo Resolver un límite

[skinner]

Buenas, me piden demostrar que la serie de Taylor generada por f(x)=e^x en a=0 converge a f(x) para todo valor real x. Para ello he impuesto, como bien sabemos, que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=0$$

Pero claro, no sé cómo resolver ese límite... los programas de cálculo (Mathematica o Derive) me dicen que ese límite vale 0 por lo tanto es convergente, pero... ¿cómo resuelvo el límite?

Un saludo y muchas gracias!

[Albertotti]

Re: Resolver un límite

No se si puedes argumentar que el factorial crece más rapido que la exponencial. Otra cosa que puedes hacer es usar la fórmula de Stirling pero, una vez más, no se hasta dónde puedes llegar para demostrarlo.
Te la pongo por si acaso:
$ln (n!) \cong n ln(n) - n$

Saludos

[skinner]

Re: Resolver un límite

Gracias Sí, se podia hacer argumentando la velocidad de crecimiento.

Un saludo!

PD: Alguien sabe cuál es la gráfica de: f(x)=x! (x factorial) ?

[arreldepi]

Re: Resolver un límite

Él, pero está haciendo la aproximación de Stirling, que el factorial en sí, sólo está definido para los naturales + el 0. En la primera de todas tienes la gráfica para el factorial de 0 a 9.


Saludos!

[Albertotti]

Re: Resolver un límite

Esa gráfica es de la función gamma, que es la expansión a los números racionales del factorial. LA aproximación de Stirling solo vale para factoriales muy grandes, lo que la hace muy útil en mecánica estadística.

[Metaleer]

Re: Resolver un límite

Esa gráfica es de la función gamma, que es la expansión a los números racionales del factorial. LA aproximación de Stirling solo vale para factoriales muy grandes, lo que la hace muy útil en mecánica estadística.

No sólo racionales, sino reales en general (salvo enteros negativos), e incluso valores complejos.

[Albertotti]

Re: Resolver un límite

se me fue, como siempre, racionales con reales. Gracias por la corrección