1r ciclo Volumen por Método de los tubos

[skinner]

Hola, buenas. Estoy liado con un ejercicio que para mí fue fácil pero sin embargo, la respuesta es errónea (según la solución del libro). Dice:

Calcule el volumen engendrado al hacer girar el conjunto A delimitado por las gráficas y=2sen(x); y=-sen(x) (nótese el signo negativo) entre $x=0$ y $x=\pi$ alrededor del eje OY (x=0)

Mi planteamiento (aparentemente malo) fue:

1. Aplicamos método de los tubos a la función y=2sen(x) con L=0
2. Aplicamos método de los tubos a la función y=-sen(x) con L=0
3. Restamos ambos volúmenes (pues el volumen engendrado por y=-sen(x) es negativo)

Mi solución es: $V=4\pi (1+\pi )$
La solución del libro es $V=6\pi ^2$

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Recuerdo que la fórmula del método de los tubos es:

$V = 2\pi \int_{x_{0}}^{x_{1}}(x-L)f(x)dx$ siendo:

L = Recta x=L en torno a la que se engendra (en torno a la que se torna la figura). En mi caso L = 0
$x_{0}$=límite inferior, en mi caso $x_{0}=0$
$x_{1}$=límite superior, en mi caso $x_{1}=\pi$

Muchas gracias por adelantado

Un saludo

[Al2000]

Re: Volumen por Método de los tubos

Tienes que sumar ambos volúmenes. La altura de los "tubos" es f(x) = 2 sen x - (- sen x) = 3 sen x.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Volumen por Método de los tubos

Vale, había sido un error de cálculo, jaja. Dejo el ejercicio resuelto por si a alguien le interesa:

1) Aplique el Método de los tubos a y=2sen(x) y le dará un volumen V1
2) Aplique el Método de los tubos a y=-sen(x) y le dará un volumen V2

Y el volumen total será: $Vt = V1 + V2 =6\pi^2$

Fíjate: (recuerda, L=0)

$V1=2\pi\int_{0}^{\pi}(x-L)f(x)dx=4\pi\int_{0}^{\pi}xsen(x)dx=4\cdot\pi^2$
$V2=2\pi\int_{0}^{\pi}(x-L)g(x)dx=-2\pi\int_{0}^{\pi}xsen(x)dx=-2\pi^2$

$\boxed{V_{T}=V_{1}+V_{2}=4\pi^2-(-2\pi^2) = 6\pi^2}$

Mil gracias Al! Un saludo

[Al2000]

Re: Volumen por Método de los tubos

Vale, había sido un error de cálculo, jaja. Dejo el ejercicio resuelto por si a alguien le interesa:

1) Aplique el Método de los tubos a y=2sen(x) y le dará un volumen V1
2) Aplique el Método de los tubos a y=-sen(x) y le dará un volumen V2

Y el volumen total será: $Vt = V1 + V2 =6\pi^2$

Fíjate: (recuerda, L=0)

$V1=2\pi\int_{0}^{\pi}(x-L)f(x)dx=4\pi\int_{0}^{\pi}xsen(x)dx=4\cdot\pi^2$
$V2=2\pi\int_{0}^{\pi}(x-L)g(x)dx=-2\pi\int_{0}^{\pi}xsen(x)dx=-2\pi^2$

$\boxed{V_{T}=V_{1}+V_{2}=4\pi^2-(-2\pi^2) = 6\pi^2}$

Mil gracias Al! Un saludo

¿Y qué harías si el problema dijera algo así como "Calcule el volumen engendrado al hacer girar el conjunto A delimitado por la gráfica y=-sen(x) (nótese el signo negativo) y el eje OX entre $x=0$ y $x=\pi$ alrededor del eje OY (x=0)"? ¿Responderías que el volumen es $-2 \pi^2$?

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Volumen por Método de los tubos

jaja, craso error... Entonces, siempre que vea un volumen negativo, ¿lo meto entre signos de valor absoluto y lo sumo?

Mil gracias! Y bien apuntado...

[Al2000]

Re: Volumen por Método de los tubos

Lo importante es que entiendas que es lo que estás haciendo. Estás sumando el volumen de cáscaras cilíndricas (tubos) muy delgadas que tienen radio $x$ y grosor $dx$. La sección transversal de estas cáscaras cilíndricas es una región anular de área infinitesimal $dA = 2 \pi x\, dx$; el volumen de la cáscara cilíndrica será esta área multiplicada por la altura del cilindro, que es la diferencia entre los valores de las funciones que lo limitan, $f(x) - g(x)$ para usar tu notación. Entonces, cada uno de los "tubos" tiene un volumen infinitesimal $dV = 2 \pi x [f(x)-g(x)]\,dx$, el cual integras entre los valores extremos de $x$.

En la pregunta tramposa que te hice antes, tendrías que tomar $f(x)=0$ y al calcular el volumen obtendrías un valor positivo.

Saludos,

Al