1r ciclo Criterio de convergencia?

[skinner]

Buenas, estoy empezando a estudiar el Criterio de convergencia de integrales impropias y la verdad es que ando un poquito perdido en el tema...

En mis apuntes me dicen que para saber si la integral

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

es convergente o divergente, hay que encontrar una función positiva $g(x)$ y mayor que $f(x)=e^{-x^{2}}$ tal que g acote superiormente a f.

En nuestro caso, podemos considerar la función $g(x)=e^{-x}$, cuyos cortes con $f(x)$ son: $x=0$ y $x=1$. Por tanto:

$\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r}e^{-x^{2}}dx$

La integral impropia será convergente si el límite existe. Y el límite existirá si existe este otro límite: $\lim_{x \to \infty} \int_{1}^{r}e^{-x^{2}}dx$ puesto que de 0 a 1 sabemos que $f(x)$ SÍ es convergente.

Con motivo de mis dudas, me gustaría que alguien me dijera: ¿cómo se ha logrado averiguar que la función $g$ que buscamos es $g(x)=e^{-x}$? Es decir, si cogiéramos la función $g(x) = x^2$, la función $f$ también estaría acotada superiormente por $g$; o también si cogemos $g(x)=e^x$. ¿Por qué $g(x)=e^{-x}$? Y lo más importante: ¿cómo se ha averiguado que es esta la función que buscamos?

Muchas gracias por vuestra atención, y un cordial saludo

[SO3]

Re: Criterio de convergencia?

El criterio que comentas esta basado simplemente en la monotonia de la integral: si $f ,g$ son funciones positivas con $g<f$ en todo el dominio de integracion, entonces $\int g < \int f$.

Asi pues, si $\int f <\infty$ , entonces $\int g < \infty$.

Respecto a por qué utiliza $f=e^{-x}$ en ese ejemplo, yo creo que es por que es la primera funcion que se te viene a la mente si buscas una función positiva e integrable que domine a $e^{-x^{2}}$ , obviamente $x^2$ o $e^x$ no te valdrian para aplicar el criterio pues si bien dominan a $e^{-x^{2}}$ no son integrables.

[skinner]

Re: Criterio de convergencia?

Gracias por tu respuesta SO3, otra pregunta.

¿Cuál es la función que domina a $f(x)=(a\sin x+b\cos x)e^{-x}$, por ejemplo, en un intervalo [h, k] positivo?

Y otra que parece más fácil: ¿Cuál es la función que domina a $\dst f(x)=\frac{xLn(x)}{(x^2+1)^{2}}$?

La primera no sé, porque no la veo... la segunda puede que, tras dibujarla, pueda imaginarme otra función que la corte y domine sobre ella.

¿Es necesario siempre dibujar la función que te dan para buscar la función que la domina?
¿Cómo sé si es mejor utilizar el Criterio de convergencia o el Criterio de comparación por paso al límite?
¿Para qué sirven las funciones Gamma y Beta de Euler? ¿Sirven para determinar la convergencia de las integrales impropias?

A ver si me puedes ayudar, que la semana que viene tengo el examen:P

Un saludo y mil gracias!

[carmelo]

Re: Criterio de convergencia?

Hola:

En el primer caso.

$f(x)\leqslant \sqrt{a^2+b^2}e^{-x}$

En el segundo caso:

$f(x)=\dst\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}<\dst\frac{x^2}{(1+x^2)^2}<\dst\frac{1+x^2}{(1+x^2)^2}=\dst\frac1{1+x^2}$
$f(x)<\dst\frac1{1+x^2}$

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Criterio de convergencia?

Muchas gracias Carmelo, pero me interesaría saber cómo has conseguido obtener eso de una forma tan metódica, y yo rompiéndome la cabeza para ver qué función "a ojo" coger...:P

Un saludo!

[carmelo]

Re: Criterio de convergencia?

Hola:

No fue demasiado sistematico. En el primer caso tomé como cota el máximo de la función que multiplica a la exponencial (algo que en general podrias hacer siempre ).

En el segundo caso fue algo mas a ojo, pero eso se adquiere con algo mas de práctica, por lo que te recomiendo que hagas muchos ejercicios (todos los mas que puedas).

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Criterio de convergencia?

Nii loco sabría hacer eso a ojo...

Ahora tengo una duda con otro ejercicio. Dice que determine la convergencia usando el criterio de comparación (Direct Comparison Test) de la integral: $\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}$

Yo lo hice separando ese salchichón en dos salchichones de menor tamaño:

$\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}=\int _{- \infty}^{0}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}+\int _{0}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}$

Sin embargo, la primera integral diverge y la segunda converge. Por lo tanto, mi respuesta hubiera sido que la integral inicial DIVERGE. Sin embargo y para mi sorpresa, el libro lo que hizo fue dividir el mismo salchichón en dos salchichones de mismo tamaño:

$\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}=2\int _{0}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}$

Como esa última iintegral SÍ es convergente, la respuesta es que la integral principal SÍ es convergente. ¿Cómo debo tener esto en cuenta? ¿Mi método no vale? ¿Por qué, si tan sólo he aplicado la regla de convergencia para integrales de primera especie?

Un saludo, y mil gracias!

[Al2000]

Re: Criterio de convergencia?

¿Cómo puede ser que la primera integral sea divergente y la segunda convergente si ambas integrales son iguales por ser la función par?

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Criterio de convergencia?

Perdona Al, pero me equivoqué, lo que quise expresar es lo siguiente.

Según el criterio de comparación, si tenemos una función como $\dst f(x)=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}$, y sabemos que:

$\dst 0 < f(x)=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}} < g(x)=\frac{1}{e^x}$

entonces, decimos que la integral $\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}$ será convergente si y sólo si la integral $\dst \int \frac{dx}{e^x}$ es convergente, puesto que $\dst g(x)>f(x):x\in(0, \infty)$

Sin embargo, si hacemos la integral:

$\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}}=\int _{- \infty}^{0}\frac{dx}{e^{x}}+\int _{0}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}}$

Me sale que la primera de ellas es DIVERGENTE y por tanto puedo concluir que la integral inicial: $\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}<br />$ también lo es. Pero no es así, pues como dije antes, el libro lo que hace es dividir la integral anterior en dos integrales de mismo valor. Al ser ese valor finito, el libro concluye que la integral inicial es CONVERGENTE.

¿Por qué?

Saludos y gracias...

[skinner]

Re: Criterio de convergencia?

PD: Creo que las dos son divergentes, pero aún así, ¿por qué mi método no es aplicable?

[Pulley]

Re: Criterio de convergencia?

Según el criterio de comparación, si tenemos una función como $\dst f(x)=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}$, y sabemos que:

$\dst 0 < f(x)=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}} < g(x)=\frac{1}{e^x}$

Esta comparación es incorrecta, observa que estás trabajando para $-\infty<x<\infty,$ que en realidad es todo $\mathbb R.$
Lo mejor que se hace es separar la integral en dos, y de hecho, notar la paridad de la función para escribirla como $2\displaystyle\int_0^\infty\frac{dx}{e^x+e^{-x}}.$

Pero no es llegar y aplicar propiedades de paridad o imparidad en intervalos simétricos, en este caso tratamos con uno no acotado. No es como el resultado sobre intervalos acotados que establece que si $f$ es integrable en $[-a,a]$ con $a>0$ y $f$ es par, entonces $\displaystyle\int_{-a}^af=2\int_0^af.$

En cambio para las integrales impropias, la hipótesis de que $f$ sea integrable ya no es válida, así que se exige que sea convergente.

En este caso lo es, y por esa razón tu integral es el doble de la que va desde 0 hasta $\infty.$

Ahora, su convergencia es trivial de probar, pues para cada $x\ge0$ es $\dfrac{1}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}<\dfrac{1}{{{e}^{x}}},$ y se concluye dado que se conoce la convergencia de $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\,dx.$

[Al2000]

Re: Criterio de convergencia?

...
Sin embargo, si hacemos la integral:

$\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}}=\int _{- \infty}^{0}\frac{dx}{e^{x}}+\int _{0}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}}$

Me sale que la primera de ellas es DIVERGENTE y por tanto puedo concluir que la integral inicial: $\dst \int _{- \infty}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}<br />$ también lo es. Pero no es así, pues como dije antes, el libro lo que hace es dividir la integral anterior en dos integrales de mismo valor. Al ser ese valor finito, el libro concluye que la integral inicial es CONVERGENTE.
...

Pero ¿por qué tu dices que si la integral de g(x) diverge, la de f(x) también diverge? Yo no veo la relación... Si g(x) > f(x) y g(x) converge, eso me garantiza que f(x) converge también, pero la proposición opuesta no es necesariamente cierta. En todo caso si tu usas la misma técnica pero comparando con la función e^x para los valores negativos de x, te resultaría que la integral converge.

Bueno, a mi no me hagas mucho caso, que yo de esto se muy poco.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Criterio de convergencia?

Gracias a los dos. Tengo una nueva pregunta.

Sea la integral $\dst F(t):=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}$. ¿Es de primera o de segunda especie, o de ambas?

Yo no estoy seguro de si contestar:

"Pues mire, es de primera especie pues el limite de integración no es finito, pero además puedo asegurar que es de segunda especie pues la función no es continua en t=0"

o

"Pues mire, es de primera especie pues el limite de integración no es finito, pero como $\dst \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}=1$, puedo afirmar que NO es de segunda especie"

En resumen, ¿qué tengo que mirar para saber si es de 2ª especie? ¿La continuidad en el punto? ¿O el límite de f(x) en el punto?

Un saludo y muchas gracias

[Pulley]

Re: Criterio de convergencia?

No recuerdo bien cuáles eran de primer o segunda especie, pero sí se puede hacer notar que la hace continua en cero (con continuidad reparable), así que el problema está en el infinito.

[skinner]

Re: Criterio de convergencia?

Entonces tengo que tomar el límite en el punto en el que "a priori" la función no es continua, y ver si el límite es finito (continuidad reparable o evitable) o infinito(discontinua) ?