1r ciclo Demostrar existenia de mínimo usando Taylor

[skinner]

Buenas, tengo el siguiente ejercicio:
i) Probar que la función $\dst f(x) = e^x-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}$ tiene un mínimo en x = 0 (usar el desarrollo de Taylor en x = 0 de $e^x$).

MI SOLUCIÓN:
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El desarrollo de Maclaurin de la función $g(x)=e^x$ es:

$$g(x)\approx 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+...$$

Sustituyendo el polinomio en la función tenemos:

$$f(x)\approx (1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+...)-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}$$

Simplificando se tiene finalmente que:

$$f(x)\approx 1+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+...$$

Derivando:

$$f'(x)\approx1+\frac{4}{4!}x^3+\frac{5}{5!}x^4+\frac{6}{6!}x^5+...$$

Pero si sustituimos 0 en f´(x), no tengo que sea un mínimo:

$$f'(0)=1+\frac{4}{4!}0^3+\frac{5}{5!}0^4+\frac{6}{6!}0^5+...=1+0+0...=1$$

¿Por qué he fallado?

Mil gracias y un saludo...

[pod]

Re: Demostrar existenia de mínimo usando Taylor

Has derivado mal el "uno"


De todas formas, el espíruto del problema no es derivar. Recuerda que el término en "x" de la expansión de Taylor te da la primera derivada automáticamente.