1r ciclo Coordenadas polares en física

[skinner]

Buenas! Como sistema de representación complementario a las coordenadas cartesianas, encontramos a las coordenadas polares. Bien es sabido que:

$$\vec{r}(t)=x(t)\hat{\imath} + y(t)\hat{\jmath} = \rho \vec{{u}_{\rho }}$$

siendo $\vec{r}(t) || \vec{{u}_{\rho }}$. Al derivar tenemos que:

$$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d\vec{r}(t)} }{\mathrm{dt} }=\frac{\mathrm{d\left( \rho \cdot \vec{{u}_{\rho}}(\theta) \right) } }{\mathrm{dt} } = \frac{\mathrm{d\rho} }{\mathrm{dt} }\vec{{u}_{\rho}}(\theta) +\rho \frac{\mathrm{d\vec{{u}_{\rho}(\theta)}} }{\mathrm{dt} }$$

Yo creo que, como \rho no varía con el tiempo ( \rho es el módulo de \vect{r}(t) ), el primer sumando, resultado de la regla de la cadena, es cero. Por tanto tenemos que (aplicando la derivada de la composición de funciones)

$$\vec{v}(t)=\rho \frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} } \vec{{u}_{\theta}}$$

¿Es este resultado correcto? Si volvemos a derivar para obtener la aceleración, tenemos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Usando el mismo criterio que antes, tenemos finalmente que:

$\vec{a}(t)=(\rho \frac{\mathrm{d^{2}\theta} }{\mathrm{dt^2} })\vec{{u}_{\theta}}-(2\rho \frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} })\vec{{u}_{\rho}}$

Sin embargo esta no es la expresión de la aceleración de una partícula en polares, según mis apuntes... ¿Qué debo hacer? ¿Me equivoqué en algo?

Un saludo y muchas gracias

[aLFRe]

Re: Coordenadas polares en física

Sin embargo esta no es la expresión de la aceleración de una partícula en polares, según mis apuntes...
¿Qué debo hacer?
¿Me equivoqué en algo?

No.
Vd. ha dicho :

Yo creo que, como \rho no varía con el tiempo ( \rho es el módulo de \vect{r}(t) ), el primer sumando, resultado de la regla de la cadena, es cero. Por tanto tenemos que (aplicando la derivada de la composición de funciones)

y la fórmula que le sale es correcta.
CORRECCIóN: No... parece que hay algún error, ahora lo veo.
Una partícula que se mueve con $\rho$ la distancia al centro de fuerzas constante describe una circunferencia.
y la expresión obtenida para la aceleración es de una partícula que describe un movimiento circunferencial:
tiene aceleración normal ( lo que va delante de $\widehat{u}_{\rho}$
y aceleración tangencial ( lo que va delante de $\widehat{u}_{\theta}$
y aún así está mal.

El problema general del movimiento en polares es un problema con dos grados de libertad
y un sistema de referencia ligado al punto
- esto quiere decir que en cada punto de la trayectoria las direcciones y sentidos de los vectores de la base varían -

En general $\rho$ varía $\theta$ varía
y los versores $\widehat{u}_{\rho}$ y $\widehat{u}_{\theta}$
Vamos a obtener la expresión bién :
$\vec{r}=\rho\widehat{u}_{\rho}$
$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}( \rho\widehat{u}_{\rho})=\frac{d \rho}{dt}\widehat{u}_{\rho}+ \rho \frac{d \theta}{dt}\widehat{u}_{\theta}$
pues $\frac{d \widehat{u}_{\rho}}{dt}= \frac{d \theta}{dt}\widehat{u}_{\theta}$
$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}( \frac{d \rho}{dt}\widehat{u}_{\rho}+ \rho \frac{d \theta}{dt}\widehat{u}_{\theta})$
$\vec{a}=<br /> (\frac{d^2 \rho}{dt^2}-\rho(\frac{d \theta}{dt})^2)\widehat{u}_{\rho}<br /> +(2 \frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt} +\rho \frac{d^2\theta}{dt^2})\widehat{u}_{\theta}$
pues $\frac{d \widehat{u}_{\theta}}{dt}= -\frac{d \theta}{dt}\widehat{u}_{\rho}$

Si ahora considera que $\rho$ es constante
$\frac{d \rho}{dt}=0$ y $\frac{d^2 \rho}{dt^2}=0$
y para este caso la expresión particularizada es
$\vec{a}=<br /> (-\rho(\frac{d \theta}{dt})^2)\widehat{u}_{\rho}<br /> +(\rho (\frac{d^2 \theta}{dt^2})\widehat{u}_{\theta}$
que son las expresiones para la aceleración de un movimiento circunferencial.

Sí, efectivamente aún así su fórmula estaba mal.
Saludos.

[aLFRe]

Re: Coordenadas polares en física

Perdón por volver sobre el asunto:

Usando el mismo criterio que antes, tenemos finalmente que:

$\vec{a}(t)=(\rho \frac{\mathrm{d^{2}\theta} }{\mathrm{dt^2} })\vec{{u}_{\theta}}-(2\rho \frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} })\vec{{u}_{\rho}}<br />$

Hay una herramienta muy rápida para comprobar si una expresión física está mal
- aunque no sirve para saber si está bién -
y es el análisis dimensional.

Una aceleración dimensionalmente es una longitud / ( tiempo x tiempo ) o sea [a]=$LT^{-2}$
En la expresión hay dos sumandos :
el primero es una longitud por ( 1/ ( tiempo x tiempo ) ) luego dimensionalmente sería CORRECTO
el segundo es una longitud por ( 1/ ( tiempo ) ) luego dimensionalmente sería INCORRECTO .

Sumar los dos puesto que son diferentes dimensionalmente no se puede hacer.

Saludos.