1r ciclo Longitud de un rollo de papel higiénico

[ardid]

Hola gente, pido ayuda para un problema de cálculo de longitudes.

Como dice el título del post, se trata de hallar la longitud de papel de espesor e > 0. El rollo tiene un radio externo R > 0 y se enrrolla alrededor de un cilindro de radio r > 0.

Antes de que alguien me diga que podría calcular la longitud dividiendo área entre espesor, no lo tengo permitido . Tiene que ser resuelto por la integral que planteo abajo.


Lo que yo he hecho ha sido lo siguiente (en coordenadas polares):

Defino $\rho(\theta) = \frac{e\theta}{2\pi}$

Defino también $R = \frac{e{\theta}_{2}}{2\pi}$ y $r = \frac{e{\theta}_{1}}{2\pi}$

De ahí despejo ${\theta}_{2} = \frac{2\pi R}{e}$ y ${\theta}_{1} = \frac{2\pi r}{e}$

Ya tengo $\rho(\theta)$ y los límites de integración ${\theta}_{1}$ y ${\theta}_{2}$. Mi integral para calcular la longitud en coordenadas polares es:

$\int \!\! \sqrt{\rho^2(\theta) + (\rho'(\theta))^2} \dd \theta$ entre ${\theta}_{1}$ y ${\theta}_{2}$ (no consigo poner los límites de integración en latex y que se visualicen correctamente ).

Que, sustituyendo, queda: $\frac{e}{2\pi}\int \!\! \sqrt{\theta^2 + 1} \dd \theta$ entre ${\theta}_{1}$ y ${\theta}_{2}$.

Para resolver esta integral, aplico el cambio de variable $\theta = \sinh t$.

Resolver esta integral en principio no es difícil, sabiendo que $\cosh^2 t = \frac{1 + \cosh 2t}{2}$ , pero me lío con el cambio de límites de integración, y me queda una solución muy rara, cuando la esperada es $\frac{\pi(R^2-r^2)}{e}$ (área entre espesor ).

¿Alguien me puede echar una mano con la integral? Y por favor decidme también si tengo algún fallo en el planteamiento del problema.

Un saludo y muchas gracias .

[Al2000]

Re: Longitud de un rollo de papel higiénico

...
Resolver esta integral en principio no es difícil, sabiendo que $\cosh^2 t = \frac{1 + \cosh 2t}{2}$ , pero me lío con el cambio de límites de integración, y me queda una solución muy rara, cuando la esperada es $\frac{\pi(R^2-r^2)}{e}$ (área entre espesor ).
...

Tienes razón, da una integral muy rara Sólo quería mencionarte que el resultado de la integral no puede ser el valor que pones al final (área entre espesor), que debería ser algo mayor. El valor aproximado, área entre espesor, debería ser el valor al cual tienda el resultado cuando el espesor sea pequeño comparado con la diferencia de radios.

Saludos,

Al

[ardid]

Re: Longitud de un rollo de papel higiénico

Gracias por tu consejo, Al2000. Toda la razón.

Quería la fórmula de la espiral de Arquímedes, pero estaba mal. Buscando en internet, he encontrado que había planteado mal la ecuación polar de la curva. La he encontrado resuelta y me sirve, sólo tendría que cambiar los límites de integración. Lo pongo para que se vea:






Y ésta es la resolución de la integral, que no termino de comprender:






Entiendo que utilice ese cambio de variable, pero a mí no me sale ni remotamente parecido. ¿Cómo desarrolla la expresión (8)?

Eso es todo lo que me falta para terminar el problema, saber cómo resuelve esa integral. ¿Alguna idea?

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Longitud de un rollo de papel higiénico

Déjame decirte que lo primero que intenté cuando vi tu problema fue plantear la ecuación de la curva como lo acabas de hacer y un rápido cálculo con el computador me convenció de que obtienes exactamente la misma solución, ya que lo único que estás haciendo es desplazar el origen.

Una vez que comprobé que tu planteamiento original es equivalente a este último, traté de ver si podía aproximar la solución resultante a la forma aproximada que mencionas en tu primer mensaje.

Yo celebro que resuelvas la integral por tus propios medios, pero yo no tengo ningún motivo para hacerlo y no pretendo reinventar la rueda (ya en mis tiempos pagué la necesaria cuota de neuronas y voy a dejar descansar a las sobrevivientes ). Aquí al lado tengo el Murray Spiegel que me dice que

$$\int \sqrt {x^2 + a^2}\,dx = \frac {x \sqrt {x^2 + a^2}} 2 + \frac {a^2} 2 \ln (x + \sqrt {x^2 + a^2})$$

De manera que la integral entre los dos límites quedaría

$$L = \frac e {2 \pi} \int_{\theta_1}^{\theta_2}\! \sqrt{\theta^2 + 1}\, d \theta = \frac e {4 \pi} \left[ \theta_2 \sqrt {\theta_2^2 + 1} - \theta_1 \sqrt {\theta_1^2 + 1} + \ln \left(\frac {\theta_2 + \sqrt {\theta_2^2 + 1}}{\theta_1 + \sqrt {\theta_1^2 + 1}}\right)\right]$$

Sustituyendo los valores de $\theta_1$ y $\theta_2$ queda

$$L = \frac e {4 \pi} \left[ \frac{2 \pi R} e \sqrt {\left (\frac{2 \pi R} e \right )^2 + 1} - \frac{2 \pi r} e \sqrt {\left(\frac{2 \pi r} e\right)^2 + 1} + \ln \left(\frac {\frac{2 \pi R} e + \sqrt {\left(\frac{2 \pi R} e\right)^2 + 1}}{\frac{2 \pi r} e + \sqrt {\left(\frac{2 \pi r} e\right)^2 + 1}}\right)\right]$$

la cual he simplificado un poco hasta obtener

$$L = \frac \pi e \left[R \sqrt {R^2 + \left(\frac e {2 \pi }\right)^2} - r \sqrt {r^2 + \left(\frac e {2 \pi }\right)^2}\right] + \frac e {4 \pi} \ln \left[\frac {R + \sqrt {R^2 + \left(\frac e {2 \pi }\right)^2}}{r + \sqrt {r^2 + \left(\frac e {2 \pi }\right)^2}}\right]$$

Aquí se ve que, en una primera aproximación, si desprecias el término $\dst \left(\frac e {2 \pi }\right)^2$ frente a $R^2$ y $r^2$, la longitud resulta

$$L \approx \frac \pi e \left( R^2 - r^2 \right) + \frac e {4 \pi} \ln \frac R r<br />$$

y si ulteriormente desprecias el último sumando, llegas a la forma aproximada que pones en tu primer mensaje

$$L \approx \frac {\pi \left( R^2 - r^2 \right)} e$$

Saludos,

Al

[ardid]

Re: Longitud de un rollo de papel higiénico

Muchísimas gracias, Al. Me parece una solución redonda al problema. Me has ayudado mucho, y lo que me explicabas de que la solución obtenida es la misma desplazando el origen es todo un punto, no se me había ocurrido. Buena idea también la de reordenar la fórmula para poder simplificar despreciando e.

La solución está bien así; si el Murray Spiegel lo dice a mi profesor le encantará, seguro

Mañana intentaré resolverlo con coordenadas paramétricas, a ver cómo cambia la dificultad.

¡Un saludo!

[H2SO4]

Re: Longitud de un rollo de papel higiénico

Enfoque de tipo aritmético:

El grosor del rollo es R-r. Si el rollo tiene N vueltas, ha de ser

$R-r=Ne$

$N=\frac{R-r}{e }$

La longitud de cada vuelta es una progresión aritmética de diferencia $\pi e$. En efecto:

${L}_{1 }= 2\pi (r+1\frac{e}{2 }) =2\pi r+1\pi e$ (divido el espesor entre 2 para no considerar el radio ni por la parte interna del papel ni por la parte externa, sino por el centro).

$L_2=2\pi (r+2\frac{e}{2 })=2\pi r+2\pi e$

$L_3=2\pi (r+3\frac{e}{2 })=2\pi r+3\pi e$

Y así sucesivamente. La diferencia entre términos es, como dije, $\pi e$.

Voy a poner el último término de la progresión utilizando R en vez de r:

$L_N=2\pi (R-\frac{e}{2 })=2\pi R-\pi e$

Con esto, la suma de todos los términos L queda

$L=\frac{(2\pi r+\pi e)+(2\pi R-\pi e)}{ 2}N$

$L=\frac{2\pi (R+r)}{2 }\frac{R-r}{e }$

$L=\pi \frac{R^2-r^2}{e }$

Saludos

[Al2000]

Re: Longitud de un rollo de papel higiénico

Hay un pequeño error en tu cálculo. El incremento del radio entre una vuelta y la siguiente es $e$, no $e/2$, tendrías que poner $\dst L_1 = 2 \pi (r + 1 e - e/2)\,,\,\,L_2 = 2 \pi (r + 2 e - e/2)\,,\,\,L_3 = 2 \pi (r + 3 e - e/2)\,,\ldots$ El error se corrige cuando pones la forma cerrada de la suma al final.

Saludos,

Al

[H2SO4]

Re: Longitud de un rollo de papel higiénico

Efectivamente, hay un error en los valores intermedios (entre $L_1$ y $L_N$); hay que sumar el espesor de la vuelta anterior. Pero no hay error ni en $L_1$ ni en $L_N$, que son los únicos que aparecen en la expresión de la suma de los términos de la progresión, y, por tanto, el error no influye en los resultados. Gracias por la observación.

Corrijo los valores de $L_2$ y $L_3$ dados antes

$L_2=2\pi (r+e+\frac{1}{2 }e)=2\pi (r+\frac{3}{2 }e)$

$L_3=2\pi (r+2e+\frac{1}{2 }e)=2\pi (r+\frac{5}{2 }e)$

Saludos