Secundaria 1 = -1

[Al2000]

En relación con el mensaje de Blasco calculando un límite, recordé esta "demostración" de que en verdad 1 es igual a -1. Se las pongo aquí como diversión, curiosidad, o recordatorio de las trampas que oculta la matemática cuando no somos muy rigurosos.

Partiendo de la definición de la unidad imaginaria, $i = \sqrt {-1}$, se puede deducir que

$$i^2 = -1$$

$$i \times i = -1$$

$$\sqrt {-1} \times \sqrt {-1} = -1$$

$$\sqrt {(-1) \times (-1)} = -1$$

$$\sqrt 1 = -1$$

$$1 = -1$$

De modo que queda así demostrado que cobrar y pagar es lo mismo, de manera que mejor cobramos en lugar de pagar

Saludos,

Al

[Laron]

Re: 1 = -1

jajajajajaja buena demostración, pero me imagino que eso es valido sólo en los imaginarios?

NaClu2 _/

[Blasco]

Re: 1 = -1

No creas Laron, a mí me demostró lo mismo pero en el campo real ( si quieres verlo ve el mensaje del limite sencillo) este Al2000 es un máquina.

[guibix]

Re: 1 = -1

Lo que pasa es que las raíces cuadradas tienen dos resultados por lo que la raíz de 1 tiene los resultados +1 y -1, luego no se puede afirmar que los dos resultados sean iguales sólo que provienen de la misma operación.

[pod]

Re: 1 = -1

El paso incorrecto es este:

$$\sqrt {-1} \times \sqrt {-1} = -1$$

$$\sqrt {(-1) \times (-1)} = -1$$

En general, no es cierto que $x^a y^b = x^{a+b}$. Sólo es cierto bajo unas condiciones muy concretas.

[natanael]

Re: 1 = -1

En general, no es cierto que $x^a y^b = x^{a+b}$. Sólo es cierto bajo unas condiciones muy concretas.

Hola pod, bajo que condiciones?

Y sería $x^a y^b = x^{a+b}$ ó $x^a x^b = x^{a+b}$.

Y una cosa que no he entendido, si por ejemplo tenemos una funcion cualquiera, sqrt(), seno(), ()^n, log(), etc.

En general llamemosla "función", y tenemos la expresión funcion2[funcion1(x)], uno primero tiene que sacacar el valor de funcion1(x) para después al resultado aplicarle la funcion2[]

Entonces...

Si uno tiene $\dst i = \sqrt {-1} \to i^2 = \sqrt {-1}^2$ entonces como rayos se puede demostrar que el cuadrado del valor de $\dst \sqrt {-1}$ es igual -1, porque si al caso vamos, y tomamos simplimente que la funcion inversa de la raíz cuadrada es el cuadrado, entonces también sería válido esto $\dst \left( \sqrt {-1} \right) ^2=\sqrt{{(-1)}^2}$, que fué lo que lo que hizo Al, y por lo que tengo entendido $\dst \sqrt{x^2}=\left\vert{} x \right\vert{} \neq \left( \sqrt{x} \right) ^2$

[pod]

Re: 1 = -1

Hola pod, bajo que condiciones?

Y sería $x^a y^b = x^{a+b}$ ó $x^a x^b = x^{a+b}$.

x = y.

Las condiciones no me las se de memoria. Probablemente es algo de que a y b tienen que ser enteros; o bien x tiene que ser positivo y conmutativo.

Si uno tiene $\dst i = \sqrt {-1} \to i^2 = \sqrt {-1}^2$ entonces como rayos se puede demostrar que el cuadrado del valor de $\dst \sqrt {-1}$ es igual -1, porque si al caso vamos, y tomamos simplimente que la funcion inversa de la raíz cuadrada es el cuadrado, entonces también sería válido esto $\dst \left( \sqrt {-1} \right) ^2=\sqrt{{(-1)}^2}$, que fué lo que lo que hizo Al, y por lo que tengo entendido $\dst \sqrt{x^2}=\left\vert{} x \right\vert{} \neq \left( \sqrt{x} \right) ^2$

Por las propiedades de las potencias y radicales.

[guibix]

Re: 1 = -1

Creo que os estáis complicando la vida.

Admito que la expresión es muy elegante por no modificar el -1 de un lado de la igualdad, eso le da credibilidad, pero al mismo tiempo es la trampa en la que todos pican.

Lo del número i creo que es un cebo para desviar la atención del problema. Después de estrujarte la cabeza con los imaginarios y sus potencias, te dicen:

$$\sqrt 1 = -1$$

$$1 = -1$$

y se quedan tan campantes. La primera parte es falsa un 50%, la segunda es falsa un 100% ya que comete el mismo error con el error anterior acomulado.

Solo hay que hacer lo siguiente para llegar a la misma paradoja:

$$-1 = -1$$

$$(-1)^2 = (-1)^2$$

$$1 = (-1)^2$$

$$\sqrt{1} = \sqrt{(-1)^2}$$

$$1 = -1$$

Si se tiene que ser riguroso, como es muy fácil llegar a los complejos desde equaciones de segundo grado del estilo $x^2+x+1 = 0$, también es normal llegar a $\sqrt {1} = -1$, pues -1 es una solución válida de $\sqrt{1}$, solo que no es la única.

Además si hay la expresión $\sqrt {1} = -1$ ella misma ya te está indicando cual es el resultado de esta raiz el cual es -1 y no 1, por lo que resulta $-1=-1$.

Por otra parte, cuando estamos trabajando con los números complejos, $\sqrt[n]{z}$ SIEMPRE tiene n soluciones se mire como se mire, incluso si z es un número real, por lo que $\sqrt{-1}= \pm i$, aunqué es fácil pasarlo por alto.

Por ejemplo:

para:$\sqrt[4]{1}$ hay 4 soluciones:

$\sqrt[4]{1}=1$

$\sqrt[4]{1}=-1$

$\sqrt[4]{1}=i$

$\sqrt[4]{1}=-i$

ya que

$1^4=1$

$(-1)^4=1$

$i^4=1$

$(-i)^4=1$

por lo tanto si tengo $\sqrt[4]{1}=\sqrt[4]{1}$ NO puedo decir 1=-1, 1=i, 1=-i, -1=i, -1=-i, ni i=-i.

En resumen, SIEMPRE que calculamos el valor de una raiz, nos cargamos por las buenas las demás soluciones, sean reales o imaginarias.

Tenemos que hacer la misma operación a los dos lados de la igualdad si queremos eliminar la raiz, que es en verdad donde reside la trampa del problema.

En el caso que nos ocupa, debemos hacer lo siguiente:

De

$\sqrt 1 = -1$

hacemos el cuadrado de los dos lados

$(\sqrt 1)^2 = (-1)^2$

por lo tanto

$1 = 1$

y queda eliminada la paradoja.

En realidad la explicación de los complejos no es imprescindible para resolver el problema, pero me he motivado porque lo tengo fresco y supongo que ayuda, ya que el problema está planteado con operaciones complejas.


Espero haber ayudado a esclarecerlo.

Saludos!!
Guibix.

[Jakost]

Re: 1 = -1

Muy buena tu explicacion guibix, igualmente como ya dijiste si ya te esta diciendo que el valor que va a adoptar la raiz es -1 y de esa manera se comprueba esa igualdad.

[guibix]

Re: 1 = -1

Por cierto, he encontrado otra forma de desacer la paradoja:

$$i^2 = -1$$

$$i \times i = -1$$

$$\sqrt {-1} \times \sqrt {-1} = -1$$

$$\sqrt {(-1) \times (-1)} = -1$$

$$\sqrt {(-1)^2} = -1$$

$$-1 = -1$$

Saludos!

[GNzcuber]

Re: 1 = -1

Hola a todos,

Me encantan este tipo de aparentes paradojas, ya que en ellas puedes encontrar formas incorrectas de hacer operaciones, y gracias a ello deberíamos aprender a no hacerlas. Yo sigo intrigado por las condiciones que deben cumplirse para poder hacer $\dst x^a\cdot y^b=x^{a+b},\quad x=y$ (), porque justamente hace no mucho se me ocurrió algo que lógicamente no es válido y se puede ver en qué parte hemos cometido el error, pero yo no logro ver el por qué.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Este caso no tiene que ver con múltiples raíces, y se puede ver que el error está en el paso subrayado, sin embargo la justificación del por qué no se puede hacer (y no vale decir porque el resultado es contradictorio) no lo sé.

¡Saludos!