1r ciclo Velocidad de crecimiento de una arista

[Zhisi]

Hola tengo el siguiente problema y se la solución pero no se como hacer uno de los pasos:
Un único cristal cúbico de sal crece en un vaso de precipitados con una solución salina. El volumen del cristal V crece con una velocidad proporcional al área de la superficie de una cara y al volumen que le queda para llegar a un volumen límite {V}_{0} :
\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = k{x}^{ 2} ({V}_{0 } -V)
Siendo x la longitud del lado del cristal en el instante t.
Demuéstrese que la velocidad de crecimiento de la longitud del lado del cristal disminuye con el tiempo, pero permanece positiva mientras x<{x}_{ 0}={{V }_{0 } }^{ 1/3} .

Se que la velocidad de crecimiento es dx/dt=(k/3)({V}_{ 0} - V) .
Tembien se que para que el crecimiento sea positivo 0\leqslant x<{x}_{ 0}= {{V}_{0 } }^{1/3 }
La derivada de la velocidad de crecimiento respecto al tiempo es
-k{x}^{2 } (dx/dt)=-({k}^{2 }/3){x}^{ 2} ({V}_{ 0}-{x}^{ 3} < 0
para 0<x< {x}_{0 } = {{V}_{ 0} }^{ 3}
Pero no se llegar hasta aquí.

Aver si algún amable compañero me lo puede aclarar

Un saludo!

PD: ¿por que inserto los símbolo de LATEX pero solo veo llaves y parentesis incluso después de enviar el mensaje?

[kyubirr]

Re: Velocidad de crecimiento de una arista

cuando escribes en latex tienes que poner lo que quieres entre esto : aparece al pulsar latex en la parte superior de donde escribes

[Al2000]

Re: Velocidad de crecimiento de una arista

Hola tengo el siguiente problema y se la solución pero no se como hacer uno de los pasos:
Un único cristal cúbico de sal crece en un vaso de precipitados con una solución salina. El volumen del cristal V crece con una velocidad proporcional al área de la superficie de una cara y al volumen que le queda para llegar a un volumen límite ${V}_{0}$ :
$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = k{x}^{ 2} ({V}_{0 } -V)$
Siendo x la longitud del lado del cristal en el instante t.
Demuéstrese que la velocidad de crecimiento de la longitud del lado del cristal disminuye con el tiempo, pero permanece positiva mientras $x<{x}_{ 0}={{V }_{0 } }^{ 1/3}$ .

Se que la velocidad de crecimiento es $dx/dt=(k/3)({V}_{ 0} - V)$ .
Tembien se que para que el crecimiento sea positivo $0\leqslant x<{x}_{ 0}= {{V}_{0 } }^{1/3 }$
La derivada de la velocidad de crecimiento respecto al tiempo es
$-k{x}^{2 } (dx/dt)=-({k}^{2 }/3){x}^{ 2} ({V}_{ 0}-{x}^{ 3} < 0$
para $0<x< {x}_{0 } = {{V}_{ 0} }^{ 3}$
Pero no se llegar hasta aquí.

Aver si algún amable compañero me lo puede aclarar

Un saludo!

PD: ¿por que inserto los símbolo de LATEX pero solo veo llaves y parentesis incluso después de enviar el mensaje?

Le puse las etiquetas [TEX][/TEX] a tus ecuaciones.

Perdona, tu mensaje me resulta un tanto confuso. Si te dicen que la velocidad de crecimiento del volumen es:

$$\frac {dV}{dt} = k x^2 (V_0 - V)$$

hallar la velocidad de crecimiento del lado es una simple aplicación de la regla de la cadena:

$$\frac {dV}{dt} = \frac {dV}{dx} \frac {dx}{dt} = \frac d {dx}(x^3) \frac {dx}{dt} = 3 x^2 \frac {dx}{dt}$$

Igualando ambas expresiones llegas a que

$$\frac {dx}{dt} = \frac k 3 (V_0 - V)$$

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Velocidad de crecimiento de una arista

Gracias, ahora si que me salen los símbolos, jaja!
La verdad es que no me aclaro con el dichoso ejercicio, el lunes tengo clase con el profesor de cálculo, a ver si me explica con calma el ejercicio. Creo que el problema esque voy un tanto retrasado respecto al ritmo del curso y por eso hay cosas que no entiendo .

Igualmente gracias y un saludo!