Función armónica (laplaciano)

[polonio]

Re: Función armónica (laplaciano)

Yo no soy ningún erudito en el tema, pero me parece que sí debería ser correcto decir que funciones de una variable sean funciones armónicas.

Considerando que una función armónica es aquella que cumple la ecuación de Laplace

$\dst {{\vec{\nabla }}^2 \phi (x_1, x_2, ..., x_n) = 0}$

Que equivale a

$\dst {{\vec{\nabla }}^2 \phi (x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{{\partial^2} \phi }{{\partial x_1}^2} + \frac{{\partial ^2} \phi }{{\partial x_2}^2} + \ldots + \frac{{\partial ^2} \phi }{{\partial x_n}^2} =0}$

Un caso especial de esta ecuación, es aquel en el que se cumple que

$\dst {\frac{\partial \phi }{\partial x_{k \neq 1}} = 0 }$

Por lo tanto

$\dst {\frac{{\partial ^2} \phi }{{\partial x_{k \neq 1}}^2} = 0 }$

con lo cual el operador laplaciano se reduce a

$\dst {{\vec{\nabla }}^2 \phi (x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{{\partial^2} \phi }{{\partial x_1}^2}}$

Por lo tanto, $\phi$ es una función armónica si se cumple que

$\dst {\frac{\partial^2 \phi }{\partial x_1^2} = 0}$

Lo que equivale a decir que

$\dst {\frac{\mathrm{{d^2} \phi } }{\mathrm{{d x_1}^2} } = 0}$

Alguien más versado en matemáticas que me diga que errores tengo.

¿Y quién dice que no?

[Caifan]

Re: Función armónica (laplaciano)

Yo no soy ningún erudito en el tema, pero me parece que sí debería ser correcto decir que funciones de una variable sean funciones armónicas.

Considerando que una función armónica es aquella que cumple la ecuación de Laplace

$\dst {{\vec{\nabla }}^2 \phi (x_1, x_2, ..., x_n) = 0}$

Que equivale a

$\dst {{\vec{\nabla }}^2 \phi (x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{{\partial^2} \phi }{{\partial x_1}^2} + \frac{{\partial ^2} \phi }{{\partial x_2}^2} + \ldots + \frac{{\partial ^2} \phi }{{\partial x_n}^2} =0}$

Un caso especial de esta ecuación, es aquel en el que se cumple que

$\dst {\frac{\partial \phi }{\partial x_{k \neq 1}} = 0 }$

Por lo tanto

$\dst {\frac{{\partial ^2} \phi }{{\partial x_{k \neq 1}}^2} = 0 }$

con lo cual el operador laplaciano se reduce a

$\dst {{\vec{\nabla }}^2 \phi (x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{{\partial^2} \phi }{{\partial x_1}^2}}$

Por lo tanto, $\phi$ es una función armónica si se cumple que

$\dst {\frac{\partial^2 \phi }{\partial x_1^2} = 0}$

Lo que equivale a decir que

$\dst {\frac{\mathrm{{d^2} \phi } }{\mathrm{{d x_1}^2} } = 0}$

Alguien más versado en matemáticas que me diga que errores tengo.

[pod]

Re: Función armónica (laplaciano)

Igual te confunde el nombre, porque lo de función armónica suena a armonía, los senos y cosenos se utilizan para expresar la descomposición de una función periódica en "armónicos". La verdad es que no tengo ni idea de donde el proviene el nombre de "funciones armónicas", pero puedes considerar que la coincidencia de nombres es puramente casual.

[skinner]

Re: Función armónica (laplaciano)

Gracias polonio

[polonio]

Re: Función armónica (laplaciano)

Mira en este enlace. Aunque lo esencial ya lo has puesto tú: una función armónica es aquella que cumple la ecuación de Laplace.

Las funciones sinusoidales no son armónicas. Otra cosa es que funciones armónicas de más de una variable (esto es, que cumplen la ecuación de Laplace) se pueden desarrollar en suma de funciones sinusoidales (que se llaman armónicos).

[skinner]

Re: Función armónica (laplaciano)

No, no la cumple, al menos en funciones de una variable... (no sé si tiene sentido hablar de ecuación de laplace en una variable pero pienso que no). Sea sí o sea no, la idea es la misma: tiene que anularse su segunda derivada, y esto no se cumple para f(x)=sen x (tiene infinitas derivadas)

¿Alguien podría sacarnos del apuro? ¿Por qué se dice que una función seno o coseno es armónica si no se anula su segunda derivada?

Muchas gracias y un gran saludo!

[neometalero]

Re: Función armónica (laplaciano)

En matemáticas, una función armónica es una función dos veces continuamente derivable.
Quizás el adjetivo armónico provenga de la física para esas funciones pero no lo sean hablando extrictamente en términos matemáticos. Ahora bien, la función seno o coseno si son dos veces continuamente derivables, pero...cumplen la ecuación de Laplace?
Lo voy a mirar con más detalle.

[skinner]

Re: Función armónica (laplaciano)

Gracias por tu ayuda; ¿podrías responderme a la segunda parte de mi post, donde pongo EDITO en rojo?

Mil gracias,

un saludo

[neometalero]

Re: Función armónica (laplaciano)

No soy ningún experto pero...parece que lo que has hecho está bien, al menos la derivación... la condición para que sea armónica no la sé. Si es esa, algo más que he aprendido.

[skinner]

Buenas! Me piden calcular los valores de a,b,c para que el campo escalar definido por $\dst f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ sea armónico. Mi razonamiento fue:

Para que el campo f sea armónico, debe satisfacer la ley de Laplace bidimensional (su laplaciano debe ser nulo):

$$\boxed{\text{f armonica} \Leftrightarrow {\nabla}^{2}f(x,y)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=0}$$

Haciendo cuentas llego a que debe cumplirse que $a=-c$, sea cual sea el valor de b. Y eso es lo que me extraña: ¿da igual el valor de b? A lo mejor me he saltado alguna condición...

Mil gracias por vuestra ayuda y atención

Saludos!

EDITO para aprovechar mi mensaje y preguntar lo siguiente: ¿qué se entiende (desde un punto de vista matemático, no físico) por una función armónica? Lo digo porque para que una función de una variable sea armónica, debe cumplirse que $f''$ = 0, lo que sólo ocurre en funciones de la forma: $f(x)=ax+b$ (rectas). Por otra parte, ¿me han estado mintiendo hasta ahora? ¿La función seno o coseno no son funciones armónicas? (lo digo porque no cumplen $f''$ = 0)