1r ciclo Dibujar una curva espiral (en polares)

[skinner]

Buenas! Me piden dibujar la función:

$\dst r(\theta)=\theta$

Como es protocolo, primero miramos si tiene alguna simetría; no, no la tiene. A continuación, intentamos calcular las asíntotas horizontales y verticales. Para ello:

$\dst \text{Asintota horizontal}\Leftrightarrow y'(\theta) = 0 \wedge x'(\theta) \neq 0$
$\dst \text{Asintota vertical}\Leftrightarrow x'(\theta) = 0 \wedge y'(\theta) \neq 0$

Intentemos calcular $y'(\theta)=0$

$$y'(\theta)=0 \Leftrightarrow \left[ \theta \cdot \sin (\theta) \right]' = 0 \Leftrightarrow \sin (\theta)+\theta \cos (\theta)=0 \Leftrightarrow \cos^2 (\theta) = \frac{1}{1+\theta^2}, \sin^2{\theta}=\frac{\theta^2}{1+\theta^2}$$

Es decir, que las pendientes horizontales dependen del ángulo $\theta$. A mí se me ocurre darle algunos valores simbólicos, tales como \theta^2=0, \theta^2=1, \theta^2=\sqrt{3}-1

¿Pero hay alguna otra forma más elegante de hacerlo? ¿O más rigurosa?

Un saludo a todos! y gracias

[pod]

Re: Dibujar una curva espiral (en polares)

¿De donde sacas que y' = 0 es una asíntota horizontal? Ese sería más bien un punto extremal, ¿no? Una asíntota horizontal sería más bien un valor finito de y cuando la coordenada x tienda a infinito.

[skinner]

Re: Dibujar una curva espiral (en polares)

Hola Pod! Ahora no tengo tiempo de contestar ya que voy camino del bus, pero puedes mirarte este guión teórico en la página 1-2 para que tengas las ideas más claras. Recuerda que trabajamos con polares

Un saludo!

[pod]

Re: Dibujar una curva espiral (en polares)

Hola Pod! Ahora no tengo tiempo de contestar ya que voy camino del bus, pero puedes mirarte este guión teórico en la página 1-2 para que tengas las ideas más claras. Recuerda que trabajamos con polares

Un saludo!

Si, bueno, en ese archivo no aparece ni una sola vez la palabra asíntota. Así que, repito, ¿De donde sacas que y' = 0 es una asíntota horizontal?

[skinner]

Re: Dibujar una curva espiral (en polares)

Lo siento, se ve que con las prisas escribí asíntota en lugar de tangente... así pues? cómo solucionaría mi problema?

Un saludo

[pod]

Re: Dibujar una curva espiral (en polares)

Fíjate que tu ecuación es equivalente a

$$\mathrm{tg}\theta = -\theta .$$

Esta es una de esas ecuaciones trascendentes, que no se pueden resolver analíticamente. Si se pueden encontrar aproximaciones tan buenas como uno quiera, pero no es una forma práctica.

La forma más práctica es gráficamente: representa las dos funciones que aparecen en cada lado de la igualdad (la tangente y el cambio de signo). En cada lugar donde las gráficas se crucen tienes una solución.

Alternativamente, puedes representar la función $\theta + \mathrm{tg}\theta$, las soluciones estarán en los puntos en que la función corte el eje OX.

[skinner]

Re: Dibujar una curva espiral (en polares)

Pod, yo pienso que calcular tangentes es una herramienta útil para graficar. En este caso, me es útil saber dónde tiene tangentes horizontales la ecuación polar: $r(\theta)=\theta$ para poder representarla gráficamente. Y sin embargo me pides que calcule los puntos de tangente como puntos de corte de las funciones $r(\theta)= tan \theta$ y $r(\theta)= \theta$ ... Entonces volvemos al problema inicial: ¿cómo dibujaría la gráfica $r(\theta)=\theta$ , que corresponde a una curva espiral? (En el examen no se admiten calculadoras)

Gracias por tu tiempo

Un saludete!

[pod]

Re: Dibujar una curva espiral (en polares)

Y sin embargo me pides que calcule los puntos de tangente como puntos de corte de las funciones $r(\theta)= tan \theta$ y $r(\theta)= \theta$

En absoluto he dicho eso. He dicho que busques puntos donde se las funciones $y = \mathrm{tg} x$ e $y = -x$ se cortan.

Fíjate que las variables que use para definir una función da igual, yo puedo estar en el plano x-y o en el plano r-$\theta$; que escriba $\theta$ no tiene porqué significar que le esté dando el sentido de coordenada polar como tú interpretaste. Eran simplemente variables mudas para definir la función. Espero que escrito de esa forma lo entiendas mejor.

Entonces volvemos al problema inicial: ¿cómo dibujaría la gráfica , que corresponde a una curva espiral?

Pero a ver, alma de cántaro, tu has preguntado cómo se encuentran los puntos donde la función es vertical/horizontal, y yo te he dicho cómo hacerlo. Si lo que quieres es dibujar la función, ¡pregunta eso!

Para dibujar la función, no tienes ninguna necesidad de saber donde es vertical/horizontal.

Como siempre, se trata de pensar, aplicar lo que se sabe a priori y de ahí sacas gran cosa sin calcular. Y, ¿qué sabemos? Pues que es una espiral. Así que vamos a dibujar una espiral, así de simple.

Para que se parezca a la realidad, tan sólo tenemos que calcular algunos puntos fáciles y hacer que nuestra espiral pase por ahí. Es obvio que empieza por el origen. También pasa por $r = \theta = \pi /6 \approx 0.5$. Este ángulo equivale a 30º, así que toma una regla, inclinala 30º respecto de la horizontal (es muy fácil de hacer, si tienes papel cuadriculado; por cada dos cuadritos horizontales tienes que "levantar" uno horizontal) y dibuja un punto a 0.5cm del origen (o a la escala que quieras usar).

Después, dibuja $r = \theta = \pi / 4 \approx 0.78 \approx 0.8$. En este caso, pon la regla justo en la bisectriz del primer cuadrante, y dibuja un puntito a 0.8cm del origen, más o menos (un poco menos).

Para $r = \theta = \pi /3 \approx 1$, pon la regla a 60º; o sea que por cada cuadradito hacia la derecha la regla se tiene que levantar dos. Dibuja un punto a 1cm del origen.

Para $r = \theta = \pi /2 \approx 1.5$, la regla sigue el eje OY, y tendrás que dibujar un puntito a centímetro y medio del origen.

Sigue así en el resto de cuadrantes.

Algo que puedes hacer si no quieres tener que calcular fracciones de $\pi$, es tomar la escala $1\textrm{cm} = \pi$. De esta forma, cuando te toque dibujar un punto a una distancia $x \pi$ del origen, tendrás que hacer el puntoto a una distancia real de $x\textrm{cm}$.

Obviamente, te saldrá una espiral: