integral que no se deja

[arturo]

y que hay de esta?
$<br /> \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a^{2}\cos^2{\theta}+b^2\sin^2{\theta}}<br />$

el resultado debe ser $\displaystyle\frac{2\pi}{ab}$

viene en el tema de residuos de variable compleja

[pod]

Re: integral que no se deja

$<br /> \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a^{2}\cos{\theta}+b^2\sin{\theta}}}<br />$

viene en el tema de residuos de variable compleja

Prueba con el cambio $z = \mathrm{e}^{i\theta}$, de donde

$$\sin \theta = \frac{1}{2i} \left( z - \frac{1}{z}\right) \ ,$$

$$\cos \theta = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z}\right) \ .$$

Y a partir de ahí se convierte en una integral racional que supongo sabrás hacer.

[carroza]

Re: integral que no se deja

$<br /> \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a^{2}\cos{\theta}+b^2\sin{\theta}}}<br />$

viene en el tema de residuos de variable compleja

Creo que tu integral es cero.

Para verlo, escribe
$a^2=C \cos{\phi} \quad b^2= C \sin{\phi}$

Te queda
$I = 1/C \int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{\cos(\theta-\phi)}$

y ahora date cuenta que tu integral tiene tantas contribuciones positivas
(cuando $|\theta-\phi|< \pi/2$) como negativas (cuando $|\theta-\phi|> \pi/2$)

[arturo]

Re: integral que no se deja

he hecho la primera integral la que no tiene cuadrados en las funciones trigonometricas... me ha dado cero. Pero el Mathematica me muestra otro resultado... es posible que este mal mi resultado?

[pod]

Re: integral que no se deja

Si tienes un problema nuevo, postealo; no edites el mensaje original por que luego el hilo no se entiende...

he hecho la primera integral la que no tiene cuadrados en las funciones trigonometricas... me ha dado cero. Pero el Mathematica me muestra otro resultado... es posible que este mal mi resultado?

¿Cómo lo has hecho en mathematica? Ten en cuenta que es una integral con singularidades, y eso puede hacer que algún método numérico se vuelva loco. A mi a priori me parece de confianza el razonamiento de carroza.

[arturo]

Re: integral que no se deja

Las dos integrales propuestas me han quedaado. Gracias por las sugerencias.

[leonardo09]

Re: integral que no se deja

bueno $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ con eso deberia salir

[Jose D. Escobedo]

Re: integral que no se deja

Otra respuesta mas podria ser un cambio de variable

$\tan \theta = t$ , $\cos^2\theta = \frac{1}{1+ t^2}$, $\sin^2\theta = \frac{t^2}{1+t^2}$ y $dx =\frac{dt}{1+t^2}$ y teniendo en cuenta las discontinuidades de cada intervalo de $\frac{\pi}{2}$ en [0 , $2 \pi$]

lo cual dejaria tu integral como una integral impropia facil de calcular:

$\frac{2}{b^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{\frac{a^2}{b^2} + t^2}$