otra ayuda mas de variable compleja...

[arturo]

Demostrar

$<br /> \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{z^n}{n!})^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{2z\cos\theta}d\theta<br />$

Gracias.

[pod]

Re: otra ayuda mas de variable compleja...

Se trata de hacer la integral por residuos tras desarrollar la exponencial por Taylor,

$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{2z\cos\theta}\dd\theta = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=0} \int_0^{2\pi} \dd\theta \ \frac{(2z)^n}{n!} \cos^n\theta \ .$$

Puedes hacer el típico cambio $w = \mathrm{e}^{i\theta}$, lo que convierte en una integral en el plano complejo sobre el circulo unidad. Al hacer el cambio tenemos que la integral es

$$\begin{aligned}<br /> I & = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}(2z)^n \int \frac{\dd w}{i w} \frac{1}{2^n\, n!} \left(w-\frac{1}{w}\right)^n \\<br /> &= \frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0} \frac{z^n}{n!} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \int \dd w\ w^{n-2m-1}\ .<br /> \end{aligned}$$

En el último paso he usado el binomio de Newton. La integral por residuos es trivial; sólo sobrevivirá el término $n = 2m$, y habrá un factor $2\pi i$. El número combinatorio ${n \choose n/2}$ sólo es diferente de cero si ambos números son naturales, lo que nos fija que n sea par, por lo que podemos hacer el cambio $n = 2 p$,

$$\begin{aligned}<br /> I & = \sum_{p=0} \frac{z^{2p}}{(2p)!} {2p \choose p} \\<br /> & = \sum_{p=0} \frac{z^{2p}}{(2p)!} \frac{(2p)!}{(n!)^2}\ .<br /> \end{aligned}$$

En el último paso es simplemente la aplicación de la definición del número combinatorio. El resto debería ser trivial...

[arturo]

Re: otra ayuda mas de variable compleja...

ea!! gracias pod... solo te tengo que decir algo... MASTER
una pregunta... ¿cual ha sido el problema mas dificil para ti del foro?

[pod]

Re: otra ayuda mas de variable compleja...

¿cual ha sido el problema mas dificil para ti del foro?

Uhm... ¿Conseguir que venga gente que disfrute participando en él?

[arturo]

Re: otra ayuda mas de variable compleja...

supongo que debe ser una tarea dificil...