1r ciclo Integración definida simple

[kuvala]

Hola Buenas

Quisiera saber como se llega de una parte de la igualdad a la otra. Está sacada de un desarrollo de cambios de variables en integrales dobles, y a la mitad hay una parte que no entiendo realmente lo que ha hecho. No sé realmente de donde sale el $\frac{1}{ 12}$ ni tampoco tantos denominadores en el segundo miembro.

$\dst \frac{1}{3 }\int \frac{1}{{(1-{u}^{2 } )}^{2 } }du=\frac{1}{12 }\int (\frac{-1}{u-1 }+\frac{1}{{(u-1)}^{2 } }+\frac{1}{u+1 }+\frac{1}{ {(u+1)}^{2 } })du$

Muchas Gracias

[lindtaylor]

Re: Integración definida simple

Fracciones parciales, de ahí sale la cosa

[Al2000]

Re: Integración definida simple

...
Quisiera saber como se llega de una parte de la igualdad a la otra. Está sacada de un desarrollo de cambios de variables en integrales dobles, y a la mitad hay una parte que no entiendo realmente lo que ha hecho. No sé realmente de donde sale el $\frac{1}{ 12}$ ni tampoco tantos denominadores en el segundo miembro.
...

Quiero ver que alguien lo haga mas sistemáticamente, pero mientras tanto toma nota de que

$$\frac 1 {\left(1 - u^2\right)^2} = \left(\frac 1 {1-u^2}\right)^2 = \left[\frac 1 {(1+u)(1-u)}\right]^2$$

$$\frac 1 {(1+u)(1-u)} = \frac 1 2 \left( \frac 1 {1+u} + \frac 1 {1-u}\right)$$

y entonces (1) se convierte en

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac 1 {\left(1 - u^2\right)^2} &= \frac 1 4 \left( \frac 1 {1+u} + \frac 1 {1-u}\right)^2 \\<br /> &= \frac 1 4 \left[ \frac 1 {(1+u)^2} + 2 \frac 1 {1+u} \cdot \frac 1 {1-u} + \frac 1 {(1-u)^2}\right] \\<br /> &= \frac 1 4 \left[ \frac 1 {(1+u)^2} + \frac 1 {1+u} + \frac 1 {1-u} + \frac 1 {(1-u)^2}\right]<br /> \end{aligned}<br />$$

Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Integración definida simple

El método para este caso de las fracciones parciales sería hacer:

$\displaystyle \frac {1} {(1-{u}^{2 } )^{2 }}=\frac {A}{u-1 }+\frac{B}{{(u-1)}^{2 } }+\frac{C}{u+1 }+\frac{D}{ {(u+1)}^{2 } }$

$(u-1)$ y $(u+1)$ lineales en $u$ se repiten en el denominador, por esto se adquiere la forma de arriba, en general si $(x-a)$ se repite $n$ veces $(x-a)^n$, habría que tomar $(x-a)$, $(x-a)^2$, $(x-a)^3$,...,$(x-a)^n$ en el denominador (como arriba).

Así después (en este caso) se iguala el polinomio en $u$ el cual el polinomio del miembro izquierdo es $1$ y el otro es $A(algo1)+B(algo2)+C(algo3)+D(algo4)$ y se igualan los coeficientes, se llega a un sistema con $4$ incógnitas ($A,B,C$ y $D$) y se tienen lo valores de las incógnitas y se tiene todo .

Averígua más sobre las fracciones parciales ya que hay mas casos que éste .

[kuvala]

Re: Integración definida simple

Muchas gracias a los dos!! =D Me ha servido de gran ayuda. Yo al principio tenía idea más o menos de que salía todo de la integración racional con las fracciones parciales, pero a la hora de desarrollarlo había momentos en los que no me cuadraban las cuentas.

Un Saludo