Sean f y g analiticas, |f|=|g| demuestre...

[arturo]

Hola tengo un problema que no pude atacarlo a la primera.

Sean $f$ y $g$ analiticas en una región A. Demuestre: Si $|f|=|g|$ en A y $f\neq 0$, excepto en puntos aislados, entonces $f(z)=e^{i\theta}g(z)$ en A para alguna constante $\theta$, $0\leq \theta\leq 2\pi$

Seguiré intentandolo, si me sale, lo publico de inmediato

Se aceptan sugerencias

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Re: Sean f y g analiticas, |f|=|g| demuestre...

Prueba el siguiente procedimiento:

Si $|f| = |g|$, entonces seguro que $f = \mathrm{e}^{i \theta(z)} g$. Entonces, si el enunciado es cierto, $f$ sólo puede ser analítica si $\theta(z) = \theta$ (constante). Es decir, intenta aplicar las condiciones de Cauchy a $f$ escrito de esa forma, y ten en cuenta que $g$ las cumple.

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Re: Sean f y g analiticas, |f|=|g| demuestre...

Hola tengo un problema que no pude atacarlo a la primera.

Sean $f$ y $g$ analiticas en una región A. Demuestre: Si $|f|=|g|$ en A y $f\neq 0$, excepto en puntos aislados, entonces $f(z)=e^{i\theta}g(z)$ en A para alguna constante $\theta$, $0\leq \theta\leq 2\pi$

He resuelto el problema de la siguiente manera...

Antes, cito el Teorema del Módulo Máximo:

Sea $A$ un conjunto conexo, abierto y acotado, y sea $f:\rm{cl}(A)\to \bf{C}$ una función analítica en $A$ y continua en $\rm{cl}(A)$. Sea $M$ el máximo de $|f(z)|$ en $\rm{fr}(A)$. Entonces

i) $|f(z)|\leq M$ para toda $z\in A$

ii) Si $|f(z)|=M$ para alguna $z\in A$, entonces f es constante en $A$.


Nota: $\rm{cl}(A)$ y $\rm{fr}(A)$ denotan la cerraduray la frontera de $A$

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ahora si...

Queremos ver que $\displaystyle\frac{f}{g}$ cumpla las condiciones del teorema anterior para poder aplicarlo.
Si $f$ no se hiciera cero, lo cual implicaria que tampoco lo hace $g$ por $|f|=|g|$, entonces ya acabamos pues $\displaystyle\frac{f}{g}$ estaria bien definido, para eso tomamos como nuestro abierto a $A$ excluyendo los puntos donde f se hace cero, ahora aplicando el teorema anterior y con la condición de que $\displaystyle\left| \frac{f}{g}\right|=1$ se tiene que $\displaystyle\frac{f}{g}$ es constante y es igual a 1 que se puede escribir como $e^{i\theta}$ para alguna $\theta$ entre y $2\pi i$.



Se aceptan comentarios, sugerencias y correcciones.

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Re: Sean f y g analiticas, |f|=|g| demuestre...

Supongo que está bien. De la forma que te dije también sale a partir de las definiciones básicas (sin necesitar un teorema, lo cual siempre está bien si no conoces o no recuerdas el teorema ).